[Licence] Ensembles

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Messagepar Kazik » Lundi 10 Octobre 2005, 19:19

Bonsoir,

j'ai un petit souci avec cette exercice :

Soient $\rm E$ un ensemble et $\rm Y$, $\rm Z$ deux sous-ensembles non vides de $\rm E$. L'objectif est l'étude de la fonction suivante :

<center>$\rm f:\mathcal{P}(E)\rightarrow\mathcal{P}(Y) \times \mathcal{P}(Z)$ tq $A\rightarrow(A\cap Y,A\cap Z)$</center>

-> Montrer que $\rm f$ est injective si et seuleument si $\rm Y\cup Z=E$

merci d'avance.
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Messagepar MB » Lundi 10 Octobre 2005, 23:04

1) On suppose que $f$ est injective.

On peut raisonner par l'absurde et supposer que $Y \cap Z \neq E$. Il existe donc $x \in E$ tel que $x \not\in Y$ et $x \not\in Z$. On a alors clairement $f(\{x\}) = f(\emptyset)$ et $f$ n'est pas injective. D'où la contradiction.

2) On suppose que $Y \cup Z = E$.

On considère deux ensembles $A$ et $B$ tels que $f(A)=f(B)$. On a donc $A \cap Y = B \cap Y$ et $A \cap Z = B \cap Z$. On a alors :

<center>$\begin{array}{lcl} A & = & A \cap E \\  & = & A \cap (Y \cap E) \\  & = & (A \cap Y) \cup (A \cap Z) \\  & = & (B \cap Y) \cup (B \cap Z) \\  & = & B \cap (Y \cap E) \\  & = & B \cap E \\  & = & B  \end{array}$</center>

Donc $f$ est injective.
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Messagepar Kazik » Mardi 11 Octobre 2005, 19:01

Bonsoir,

je ne saisi pas pourquoi $\rm A=A\cap E$ ?
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Messagepar MB » Mardi 11 Octobre 2005, 20:08

Kazik a écrit:je ne saisi pas pourquoi $\rm A=A\cap E$ ?


Parce que $A$ est inclu dans $E$.
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Messagepar Kazik » Mardi 11 Octobre 2005, 20:11

En fait je ne saisi pas le sens de votre phrase ...
MB a écrit:On considère deux ensembles $A$ et $B$ tels que $f(A)=f(B)$. On a donc $A \cap Y = B \cap Y$ et $A \cap Z = B \cap Z$. On a alors :

<center>$\begin{array}{lcl} A & = & A \cap E \\  & = & A \cap (Y \cap E) \\  & = & (A \cap Y) \cup (A \cap Z) \\  & = & (B \cap Y) \cup (B \cap Z) \\  & = & B \cap (Y \cap E) \\  & = & B \cap E \\  & = & B  \end{array}$</center>


Y'a t il un lien quelconque ?
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Messagepar MB » Mardi 11 Octobre 2005, 20:41

Kazik a écrit:Y'a t il un lien quelconque ?


Oui, il y a un lien, puisque je considère deux ensembles $A$ et $B$ tels que $f(A)=f(B)$ et je montre que $A=B$.
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Messagepar Kazik » Mardi 11 Octobre 2005, 20:49

Juste quelques question encore :

- Il fallait aussi prouver l'existence de $\rm f$
- On suggerer de montrer une double implication

Pouvez m'en dire plus ?
merci encore :)
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Messagepar MB » Mardi 11 Octobre 2005, 21:23

Kazik a écrit:- Il fallait aussi prouver l'existence de $\rm f$


C'est assez évident.

Kazik a écrit:- On suggerer de montrer une double implication


Pour quelle question ?
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Messagepar Invité » Mardi 11 Octobre 2005, 21:29

MB a écrit:C'est assez évident.


moi j'ai du mal :(

MB a écrit:Pour quelle question ?


la meme question
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Messagepar MB » Mardi 11 Octobre 2005, 21:45

Bon pour montrer que $f$ est bien définie, je ne vois même pas comment l'expliquer tellement cela me paraît clair. On peut peut être dire que comme $Y$ et $Z$ sont deux sous-ensembles de $E$ l'intersection avec un autre sous-ensemble de $E$ est bien définie.

En ce qui concerne la double inclusion, on doit pouvoir le faire pour le 2) mais c'est plus long à mon avis.
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Messagepar Tryphon » Mercredi 12 Octobre 2005, 22:10

Je ne vois pas non plus pourquoi il faudrait expliquer l'existence de $f$. Ce genre de question a un sens lorsque la définition de $f$ pourrait donner plusieurs valeurs possibles pour l'image d'un élément. Ce n'est pas le cas ici, la formule est non ambigüe.
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Messagepar Kazik » Dimanche 16 Octobre 2005, 17:06

Oui mais c'est pas moi qui fait les énoncés ! :lol:

Sinon je bloque sur quelque chose dans la suite de cette exercice :

> montrer que $f$ surjective si et seuleument si $Y\cap Z= \emptyset$.
> si $f$ est bijective determiner son application reciproque.

merci encore.

[Edit: MB] L'ensemble vide se note \emptyset.

Ok merci je croyais que c'etait \empty ...
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Messagepar MB » Dimanche 16 Octobre 2005, 21:59

Kazik a écrit:> montrer que $f$ surjective si et seuleument si $Y\cap Z= \emptyset$.


Bon, alors c'est toujours le même type de raisonnement :

1) Supposer que $f$ est bien surjective et montrer (par l'absurde) que $Y\cap Z= \emptyset$.

Pour cela, on suppose que $Y\cap Z \neq \emptyset$ et on considère un élément $x \in Y\cap Z$. On montre alors que l'élément $(\{x\}, \emptyset)$ ne peut pas être atteind et que $f$ n'est donc pas surjective.

2) On suppose que $Y\cap Z= \emptyset$ et on montre que $f$ est surjective.

Pour cela, on considère deux ensembles $Y' \in \mc{P}(Y)$ et $Z' \in \mc{P}(Z)$. On montre alors en considérant $A = Y' \cup Z'$ que $f(A) =(Y',Z')$ et donc que $f$ est sujective. Il faut être méfiant lorsque l'on montre que $f(A) =(Y',Z')$ car cela peut paraître relativement évident, mais il faut utiliser que $Y\cap Z= \emptyset$.
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Messagepar MB » Dimanche 16 Octobre 2005, 22:02

Kazik a écrit:> si $f$ est bijective determiner son application reciproque.


Je pense que l'application réciproque ne peut qu'être $g$ définie par $g(A,B)=A \cup B$.
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