Ensemble de mesure nulle

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Ensemble de mesure nulle

Messagepar joanie58 » Mardi 11 Novembre 2014, 20:43

Bonjour,

soit l'ensemble $E_t = \{ (x,y) \in [0,1] \times [0,1] \mbox{ t.q. } xy =t \}$.
si on considère le cas où t est rationnel on devrait avoir que $\mu(E_t)=0 \quad \forall t \in \Q$.
mais je n'arrive pas a montrer que $\mu(E_t)=0 \quad \forall t \in \Q$.

pouvez-vous m'aider
merci!
joanie58
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Re: ensemble de mesure nul

Messagepar OG » Mardi 11 Novembre 2014, 21:50

Bonsoir

Il faudrait préciser ce qu'est $\mu$ ? la mesure de Lebesgue dans $\R^2$ ?
Avoir $t$ dans $\Q$ est-il vraiment important ici ?

O.G.
OG
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Re: Ensemble de mesure nulle

Messagepar joanie58 » Mercredi 12 Novembre 2014, 03:21

oui u la mesure de lebesgue et oui vraiment important les rationnel
joanie58
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Re: Ensemble de mesure nulle

Messagepar balf » Mercredi 12 Novembre 2014, 10:58

Si c'est vraiment la mesure de Lebesque dans R², on n'a pas besoin que t soit rationnel pour que μ(E$_\mathsf t$) soit nul : toutes les courbes « raisonnables » de R² sont de mesure nulle. Il doit y avoir autre chose dans l'énoncé, je pense.

B.A.
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Re: Ensemble de mesure nulle

Messagepar raphkebab » Mercredi 12 Novembre 2014, 14:40

C'est sans doute pour montrer dans un deuxième temps que la réunion des E$_\mathsf t$ est de mesure nulle.
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Re: Ensemble de mesure nulle

Messagepar joanie58 » Samedi 15 Novembre 2014, 14:42

raphkebab a écrit:C'est sans doute pour montrer dans un deuxième temps que la réunion des E$_\mathsf t$ est de mesure nulle.


c'est exactement ça!

est-ce que je peux dire

$x \in [0,1]$ $y \in [0,1]$ et $xy \in Q$ => $ xy \in Q \cup [0,1]$

et donc $E_t$ est un ensemble d'éléments dénombrables et donc $\mu(E_t)=0$
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Re: Ensemble de mesure nulle

Messagepar balf » Samedi 15 Novembre 2014, 17:46

joanie58 a écrit:est-ce que je peux dire
$x \in [0,1]$ $y \in [0,1]$ et $xy \in Q$ => $ xy \in Q \cup [0,1]$

Ce serait plutôt $ xy \in Q \cap [0,1]$ que vous voulez dire ?

et donc $E_t$ est un ensemble d'éléments dénombrables et donc $\mu(E_t)=0$

Si x et y sont quelconques, $E_t$ n'est pas dénombrable, mais il est quand même de mesure nulle pour la mesure de Lebesgue sur R² (homéomorphe à [0, 1], p. ex.).

B.A.
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