Endomorphismes, noyaux ...

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

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Endomorphismes, noyaux ...

Messagepar pouik » Mercredi 05 Septembre 2007, 17:01

Bonir,
Pourriez vous m'aider à résoudre ce début de problème sur lequel je sèche totalement : je n'ai vraiement aucune idée pour procéder !

Soit $E$ un $K-$espace vectoriel de dimension finie (avec $K = \R$ ou $\C$). On dit que deux endomorphismes $a$ et $b$ de $E$ vérifient les conditions $(C)$ si l'on a :

$$a \circ b \circ a = a \quad   (1)$$


$$b \circ a \circ b = b  \quad  (2)$$


$$a \circ b = b \circ a  \quad  (3)$$



Soient $a$ et $b$ deux endomorphismes de $E$ vérifiant les conditions $(C)$.
1. Montrer que $Ker b = Ker a$ et $Im b = Im a$.
2. interpréter géométriqumeent l'endomorphisme $f = a \circ b$ (projecteur ? symétrie ?, ...).
pouik
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Re: Endomorphismes, noyaux ...

Messagepar Valvino » Mercredi 05 Septembre 2007, 17:22

Déjà, sauf si j'ai mal compris ton énoncé, ta condition (C) est valable pour tout nombre complexe, et donc si on applique $a \circ b \circ a$, $b \circ a \circ b$ et $a \circ b$ au vecteur nul, on obtient un truc particulier pour $a(1)$, $b(2)$ et $(b \circ a)(3)$, sauf erreur de ma part. Et à partir de là on doit pouvoir en déduire des trucs.
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Re: Endomorphismes, noyaux ...

Messagepar penec » Mercredi 05 Septembre 2007, 17:29

1) montre les deux inclusions en utilisant les règles du jeu
2) Rejette un coup d'oeil sur les définitions de projecteur et symétrie.


C'est du niveau sup ?
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Re: Endomorphismes, noyaux ...

Messagepar guiguiche » Mercredi 05 Septembre 2007, 20:59

Code: Tout sélectionner
\circ
donne $\circ$.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
guiguiche
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Re: Endomorphismes, noyaux ...

Messagepar pouik » Jeudi 06 Septembre 2007, 15:09

Bonjour,
Je suis un peu confus.

Dois-je partir de : Soit $x \in Ker a$ et montrer que $x \in Ker b$ pour la première inclusion de la question 1 ?


Merci d'avance. :D :D
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Re: Endomorphismes, noyaux ...

Messagepar OG » Jeudi 06 Septembre 2007, 15:34

pouik a écrit:Bonjour,
Je suis un peu confus.

Dois-je partir de : Soit $x \in Ker a$ et montrer que $x \in Ker b$ pour la première inclusion de la question 1 ?


Merci d'avance. :D :D


Pour éviter toute confusion : démontrer ($(x\in \ker a)$ entraîne $(x\in \ker b)$) équivaut à $\ker a\subset \ker b$
(c'est la définition de l'inclusion d'un ensemble dans un autre).
O.G.
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Re: Endomorphismes, noyaux ...

Messagepar pouik » Jeudi 06 Septembre 2007, 16:02

Je propose donc :
Soi $x \in Ker a$.
alors : $a(x) = 0$
$b \circ a (x) = b(0) = 0$ car $b$ endomorphisme donc linéaire.
D'après $(3)$ : $a \circ b (x) = 0$
$b \circ a \circ b (x) = b(0) = 0$ car $b$ endomorphisme donc linéaire.
D'après $(2)$ : $b(x) = 0$ donc $x \in Ker b$.

D'où : $Ker a C Ker b$

non ??
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Re: Endomorphismes, noyaux ...

Messagepar OG » Jeudi 06 Septembre 2007, 16:06

ça me paraît juste. (soit pas soi)
O.G.
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Re: Endomorphismes, noyaux ...

Messagepar Valvino » Jeudi 06 Septembre 2007, 16:16

Le symbole d'inclusion est
Code: Tout sélectionner
\subset
et donne $\subset$.

Sinon ça me parait juste.
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Re: Endomorphismes, noyaux ...

Messagepar pouik » Jeudi 06 Septembre 2007, 16:53

Okay Merci.
Sinon pourriez vous m'aider à partir pour traduire $x \in Im a$ car ca remonte à un peu loin et je ne sais plus tellement comment faire.

Merci d'avance.
pouik
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Re: Endomorphismes, noyaux ...

Messagepar penec » Jeudi 06 Septembre 2007, 17:28

bonsoir
$x \in Im a$ ssi

$$ \exists y \in E : x = a(y) $$


puis il suffit de faire des manipulations.
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Re: Endomorphismes, noyaux ...

Messagepar pouik » Vendredi 07 Septembre 2007, 15:10

Bonjour,
Dois-je trouver quelque chose de la forme $x = b(y)$, ou dois-je trouver quelque chose de la forme $x = b(z)$ avec $z \ne y$.
En tout cas dans les deux cas, j'ai essayé dans un premier temps de composer par $b$ puis d'utiliser les propriétés de $(C)$ mais ca ne donne rien !!

:oops: :oops: Pourriez vous ma'ider ? merci d'avance.
pouik
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Re: Endomorphismes, noyaux ...

Messagepar penec » Vendredi 07 Septembre 2007, 16:06

Bonsoir:

$$\exists y \in E : x = a(y)$$


donc:

$$ x = aba(y)= ab(a(y))=ba(a(y))= b(aa(y)) $$


Donc en posant $z=aa(y)$, on a :
$ x = b(z)$
donc $x$ est dans $Im(b)$
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Re: Endomorphismes, noyaux ...

Messagepar pouik » Vendredi 07 Septembre 2007, 18:35

Merci.
pour la 2. dans mon cours je trouve juste que pour une symétrie $s$, on a :

$$Ker s = \{0\}  \qquad Im a = E$$



Sinon, mon intuition me dit qu'il s'agirait d'une projection car $p \circ p = p$ et là on a $Ker a = Ker b$ et $Im a = Im b$ mais si c'est effectivement une projection, je vois pas du tout comment le démontrer.

Merci d'avance pour votre aide. :D :D
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Re: Endomorphismes, noyaux ...

Messagepar OG » Vendredi 07 Septembre 2007, 19:44

Bonsoir

Si $f=a\circ b$, que donne (avec toutes les propriétés sur $a$ et $b$) $f\circ f$ ?

O.G.
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Re: Endomorphismes, noyaux ...

Messagepar pouik » Samedi 08 Septembre 2007, 08:13

Bonjour,
$f \circ f = f$ donc c'est une projection. Non ??
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Re: Endomorphismes, noyaux ...

Messagepar pouik » Samedi 08 Septembre 2007, 16:36

Bonjour,
Pourriez-vous m'aider à terminer ce petit problème car je n'y arrive pas trop... :oops: :oops:

On admet que : un endomorphisme $a$ admet un pseudo-inverse (ici dans les conditions $(C)$, on dit que $b$ est un pseudo-inverse de $a$) si et suelement si $E = Ker a \oplus Im a$, et ce pseudo-inverse est alors unique, il sera noté $a'$.

1. Détreminer $a'$ si $a \in GL(E)$.
2. Déterminer $a'$ si $a$ est un projecteur.
3. Déterminer $a'$ si $a = \lambda p$ avec $\lambda \in K^*$ et $p$ projecteur.
4. Si $a$ admet un pseudo-inverse $a'$, montrer que $a'$ admet aussi un pseudo-inverse et préciser $(a')'$.

Pour la 1., je dirais que $a' = a^{-1}$ car alors toutes les conditions de $(C)$ sont bien vérifiées mais je ne vois pas comment le démontrer....

Merci d'avance pour votre aide. :D
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Re: Endomorphismes, noyaux ...

Messagepar kilébo » Samedi 08 Septembre 2007, 23:06

pouik a écrit:1. Détreminer $a'$ si $a \in GL(E)$.

pour la 1., je dirais que $a' = a^{-1}$ car alors toutes les conditions de $(C)$ sont bien vérifiées mais je ne vois pas comment le démontrer....


Bah il suffit de vérifier que $a^{-1}$ vérifie tous les conditions. Le problème à l'air de dire de te faire admettre que dans ce cas le pseudo-inverse est unique. Tu sèches où ?

pouik a écrit:2. Déterminer $a'$ si $a$ est un projecteur.


Déjà est-ce que dans ce cas là : on remplit bien les conditions ? (oui mais il faut le dire !). Ensuite, que donne $a^2$ ? Ca devrait t'aider.

pouik a écrit:3. Déterminer $a'$ si $a = \lambda p$ avec $\lambda \in K^*$ et $p$ projecteur.


Moi, je dirais $\dfrac{1}{\lambda}$ la solution du problème précédant : à tester.

pouik a écrit:4. Si $a$ admet un pseudo-inverse $a'$, montrer que $a'$ admet aussi un pseudo-inverse et préciser $(a')'$.


Quelle solution à ton avis ?

D'une façon générale, ce problème consiste à employer son intuition à partir du terme pseudo-inverse. On se dit que ca doit se comporter, à peu près, comme un inverse. On fait alors une hypothèse et on vérifie que ça marche.
A une erreur de calcul et de raisonnement prêt, tout cela doit être correct.
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Re: Endomorphismes, noyaux ...

Messagepar pouik » Dimanche 09 Septembre 2007, 06:58

Bonjour,
Pour la 2. et 3. je propose $a$ et $\dfrac{1}{\lambda} a$, sinon pour la 4. j'ai pas du tout d'idées... :oops: :(
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Re: Endomorphismes, noyaux ...

Messagepar kilébo » Dimanche 09 Septembre 2007, 10:21

Pour le 4), je propose $(a')' = a$. Essaie : moi, je n'ai pas testé mais pure intuition.
A une erreur de calcul et de raisonnement prêt, tout cela doit être correct.
kilébo
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