Endomorphismes, noyaux ...

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

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Re: Endomorphismes, noyaux ...

Messagepar pouik » Dimanche 09 Septembre 2007, 10:33

Bonjour,
Oui mais il est demandé de :

pouik a écrit:Bonjour,
Pourriez-vous m'aider à terminer ce petit problème car je n'y arrive pas trop... :oops: :oops:

On admet que : un endomorphisme $a$ admet un pseudo-inverse (ici dans les conditions $(C)$, on dit que $b$ est un pseudo-inverse de $a$) si et suelement si $E = Ker a \oplus Im a$, et ce pseudo-inverse est alors unique, il sera noté $a'$.

1. Détreminer $a'$ si $a \in GL(E)$.
2. Déterminer $a'$ si $a$ est un projecteur.
3. Déterminer $a'$ si $a = \lambda p$ avec $\lambda \in K^*$ et $p$ projecteur.
4. Si $a$ admet un pseudo-inverse $a'$, montrer que $a'$ admet aussi un pseudo-inverse et préciser $(a')'$.

Pour la 1., je dirais que $a' = a^{-1}$ car alors toutes les conditions de $(C)$ sont bien vérifiées mais je ne vois pas comment le démontrer....

Merci d'avance pour votre aide. :D


de plus, je ne vois pas comment vérifier dans la mesure où je ne sais pas ce que vaut $a'$... :( :(
pouik
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Re: Endomorphismes, noyaux ...

Messagepar kilébo » Dimanche 09 Septembre 2007, 14:25

a' c'est b d'après l'énoncé. Ou alors j'ai rien compris.
A une erreur de calcul et de raisonnement prêt, tout cela doit être correct.
kilébo
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Re: Endomorphismes, noyaux ...

Messagepar pouik » Dimanche 09 Septembre 2007, 15:19

Bonjour,
mais le probleme consiste essentiellement à montrer qu'il exite un pseudo-inverse de $a'$. Avez vous une idée pour procéder ??
pouik
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Re: Endomorphismes, noyaux ...

Messagepar kilébo » Lundi 10 Septembre 2007, 06:19

La symétrie de la définition me laisse penser que $(a')' = a$, je ne vois pas quoi ajouter à ce que j'ai déjà dit.
A une erreur de calcul et de raisonnement prêt, tout cela doit être correct.
kilébo
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Re: Endomorphismes, noyaux ...

Messagepar pouik » Lundi 10 Septembre 2007, 20:14

kilébo a écrit:La symétrie de la définition me laisse penser que $(a')' = a$, je ne vois pas quoi ajouter à ce que j'ai déjà dit.


Je suis d'accord pour la valeur de $(a')'$ mais comment fait-on pour montrer que $a'$ admet un pseudo-inverse ? c'est ca que je ne comprends pas.

Merci d'avance.
pouik
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Re: Endomorphismes, noyaux ...

Messagepar AgneS » Lundi 10 Septembre 2007, 20:22

comment fait-on pour montrer que a' admet un pseudo-inverse ?


si tu l'exhibes,et que tu montres qu'il vérifie les conditions, c'est donc qu'il existe!
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Re: Endomorphismes, noyaux ...

Messagepar pouik » Lundi 10 Septembre 2007, 20:41

pouik a écrit:Bonjour,
Oui mais il est demandé de :

pouik a écrit:Bonjour,
Pourriez-vous m'aider à terminer ce petit problème car je n'y arrive pas trop... :oops: :oops:

On admet que : un endomorphisme $a$ admet un pseudo-inverse (ici dans les conditions $(C)$, on dit que $b$ est un pseudo-inverse de $a$) si et suelement si $E = Ker a \oplus Im a$, et ce pseudo-inverse est alors unique, il sera noté $a'$.

1. Détreminer $a'$ si $a \in GL(E)$.
2. Déterminer $a'$ si $a$ est un projecteur.
3. Déterminer $a'$ si $a = \lambda p$ avec $\lambda \in K^*$ et $p$ projecteur.
4. Si $a$ admet un pseudo-inverse $a'$, montrer que $a'$ admet aussi un pseudo-inverse et préciser $(a')'$.

Pour la 1., je dirais que $a' = a^{-1}$ car alors toutes les conditions de $(C)$ sont bien vérifiées mais je ne vois pas comment le démontrer....

Merci d'avance pour votre aide. :D


de plus, je ne vois pas comment vérifier dans la mesure où je ne sais pas ce que vaut $a'$... :( :(


Oui mais vu comment la question est tournée n'attend-t-on pas de nous l'on montre d'abord qu'il existe et qu'ensuite on précise sa valeur ??
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Re: Endomorphismes, noyaux ...

Messagepar kilébo » Mardi 11 Septembre 2007, 22:03

Euh... L'existence c'est dur à démontrer quand tu n'as de candidat. Mais quand tu as un candidat, l'existence est toute trouvée, non ?
A une erreur de calcul et de raisonnement prêt, tout cela doit être correct.
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Re: Endomorphismes, noyaux ...

Messagepar pouik » Mercredi 12 Septembre 2007, 15:19

Bonjour,
D'accord, mais toutefois comment fait-on pour montrer à la question 4., qu'on a $E = Ker a \oplus Im a$ pour pouvoir effectivement assurer l'unicité du candidat proposé ?

Merci d'avance.
pouik
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Re: Endomorphismes, noyaux ...

Messagepar AgneS » Mercredi 12 Septembre 2007, 15:36

On admet que : un endomorphisme $a $admet un pseudo-inverse (ici dans les conditions $(C)$, on dit que$ b$ est un pseudo-inverse de $a$) si et seulement si $E = Ker a \oplus Im a$, et ce pseudo-inverse est alors unique, il sera noté $a'. $


Il me semble que si le pseudo inverse existe, l'unicité est alors admise dans l'énoncé.
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