Endomorphisme

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

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Endomorphisme

Messagepar sarra » Mercredi 17 Janvier 2007, 03:06

Voici l'énoncé de mon exercice:

Soit l'endomorphisme f de $\R^3$ défini par sa matrice dans la base canonique

[center]$A=  \begin{pmatrix}             1 & -1 & -1 \\           -1 & 1 & 1 \\             0 &  0  &  2   \end{pmatrix}$[/center]

1) Déterminer $f(x,y,z)$
2) Montrer que $Imf$ et $kerf$ sont supplémentaires dans $\R^3$.
3)Montrer que $f o f =2f$ et en déduire que $\R^3=Kerf \oplus Ker(f-2Id)$

Je me bloque dans la 3eme question aider moi svp.
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Messagepar Arnaud » Mercredi 17 Janvier 2007, 07:04

On commence par un bonjour...

La matrice de $f \circ f$ est $A^2$.
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Messagepar sarra » Mercredi 17 Janvier 2007, 21:44

et la matrice de 2f est 2A n'est ce pas ?
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Messagepar Arnaud » Mercredi 17 Janvier 2007, 21:46

Oui.
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Messagepar sarra » Jeudi 18 Janvier 2007, 22:28

Mais $A^2 \ne 2A$
comment démontrer alors que $f \circ f=2f ?$
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Messagepar guiguiche » Jeudi 18 Janvier 2007, 22:37

sarra a écrit:Mais $A^2 \ne 2A$
comment démontrer alors que $f \circ f=2f ?$

Il y a un problème d'énoncé alors (je trouve effectivement que $A^2\ne2A$).
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
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Messagepar sarra » Vendredi 19 Janvier 2007, 00:44

et si l'on a $f \circ f=2f$

comment déduire que

$\R^3 = Kerf  \oplus  Ker(f-2Id)$ ?


PS: c'est un exercice d'examen
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Messagepar tigris » Vendredi 19 Janvier 2007, 08:06

:)
Si tu corriges en prenant $a_{23}=-1$ c'est à dire $A= \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ tu as $A^2=2A$
:)
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Messagepar tigris » Vendredi 19 Janvier 2007, 08:31

:)
En remarquant que $I_d=\dfrac{1}{2}f-\dfrac{1}{2}(f-2I_d)$ tu déduis que $\forall x\in \R^3 \;x=\dfrac{1}{2}f(x)-\dfrac{1}{2}(f-2I_d)(x)
 =\dfrac{1}{2}f(x)+(-\dfrac{1}{2}(f-2I_d)(x))$

A quoi appartient $\dfrac{1}{2}f(x)$ ?$-\dfrac{1}{2}(f-2I_d)(x)$ ?

Bon je crois que j'en ai trop dit et que je vais me faire rappeler à l'ordre...
:)
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Messagepar Arnaud » Vendredi 19 Janvier 2007, 12:04

Bon je crois que j'en ai trop dit et que je vais me faire rappeler à l'ordre...


Non je ne crois pas :D
Mais ta méthode m'étonne, je pensais qu'une factorisation suffirait ( je ne l'ai pas fait en détail ).
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Messagepar tigris » Vendredi 19 Janvier 2007, 14:51

:)
Mais ta méthode m'étonne


C'est un exo classique de MPSI (préparation au lemme des noyaux (2ième année))

Le but du jeu est de faire découvrir ce lemme dans ce cas particulier.

:)
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Messagepar tigris » Vendredi 19 Janvier 2007, 15:30

:)
Voici le même type d'exercice donné à Louis Le Grand en MPSI dans un devoir cette année :

Exercice 2 (Cas simple du lemme des noyaux)
Soient a et b deux scalaires distincts et $f \in L(E)$ tel que
[center]$(f-aId_E)\circ (f-bId_E)=0$[/center]
1.Montrer que $Ker(f - aId_E)$ et$Ker(f -bId_E)$ sont supplémentaires.
2. Déterminer une expression simple de la projection $p$ sur $Ker(f - aId_E)$ parallèlement à $Ker(f - bId_E)$
3. Montrer que $f = ap + b(Id - p)$. En déduire l’expression de $f^n$pour tout entier $n$.


Le titre du devoir est : «Exercices classiques d'algèbre linéaire».
:)
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