Endomorphisme de polynôme

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Endomorphisme de polynôme

Messagepar paspythagore » Mardi 24 Mars 2009, 11:15

Bonjour,je dois écrire la matrice $\phi$ dans la base $(1,X,X^2,...,X^n)$ de l'endomorphisme défini par $\phi(P) \ = \ (X^2 \ - 1)P'' \ + \ (2X \ + \ 1)P'$ avec P un polynôme et montrer que cette matrice est diagonalisable.


$P(X) \ = \ a_0 \ + \ a_1 X \ + \ a_2 X^2 \ +... \ + \ a_n X^n$
$P'(X) \ = \ a_1 \ + \ 2a_2 X \ +... \ + \ na_n X^{n-1}$
$P''(X) \ = \ 2a_2 \ +... \ + \ n(n-1)a_n X^{n-2}$

$2X  \ P'(X) \ = \2 a_1 X \ + \ 4a_2 X^2 \ +... \ + \ 2na_n X^n$
$X^2 P''(X) \ = \ 2a_2 X^2 \ +... \ + \ 2n(n-1)a_n X^n$

J'arrive à la matrice :

$$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 2 & 2 & -6 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 6 & 3 & -12 & 0 & 0 & 0 & 0\\ ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ...\\  0 & 0 & 0 & ... & ... & 4(n-2)(n-3) & n-1 & 2(n-2)(n-3) & 0 \\  0 & 0 & 0 & ... & ... & 0 & 4(n-1)(n-2) & n & 0\\ 0 & 0 & 0 & ... & ... & ... & 0 & 2(n-1) & 2n\end{pmatrix}$$



Et un polynôme caractéristique : P(X) = (2n) n! qui permet de conclure que $\phi$ est diagonalisable ?

Est ce juste ?
paspythagore
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Re: endomorphisme de polynôme

Messagepar OG » Mardi 24 Mars 2009, 11:27

Non la matrice n'est pas juste. Tu as du mélanger les indices. Il y a un 1 en position (1,1)
alors que $a_0$ compte pour du beurre (disparaît) pour $\phi(P)$.

Pour ta conclusion, alors là c'est tragi-comique !
Le polynôme caractéristique ne peut être constant ( tu calcules $det(A)$ et en plus tu as l'air
de faire le produit des éléments diagonaux, ce qui est faux pour une
telle matrice).
Question diagonalisation, tu as le choix de faire de façon matricielle
ou alors de façon application linéaire dans l'espace des polynômes
($\phi(P)=\lambda P$ ssi $(1-X^2)P''+(2X+1)P'=\lambda P$ mène peut-être
à quelque chose)

Cordialement
O.G.
OG
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Re: endomorphisme de polynôme

Messagepar paspythagore » Mardi 24 Mars 2009, 12:11

Je ne comprends pas, j'ai ça mais c'est pire.


$\begin{pmatrix} 0 & 1 & -2 & 0 & 0 & 0   & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 2 & -6 & 0 & 0   & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 6 & 3 & -12     & 0 & 0 & 0 & 0\\ ... & ... & ... & ...  & ... & ... &  ... & ... & ... & ...\\ 0 & 0 & 0 & 0 & ...   & ... & 4(n-2)(n-3) & n-1 & 2(n-2)(n-3) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0  & ... & ...   &  0 & 4(n-1)(n-2) & n & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0   & ...  &  ... &  ... & 0 & 2(n-1) & 2n \end{pmatrix}$
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Re: endomorphisme de polynôme

Messagepar OG » Mardi 24 Mars 2009, 12:43

Bonjour

C'est difficile pour moi de voir clair aujourd'hui.
Je dirai que ta matrice doit être de taille $n+1$ et là
elle me semble être de taille $n+2$ ?
Tout cela me paraît louche (mais le facteur taper en LaTeX et
bien voir la matrice existent aussi)

Pourquoi ne pas essayer le cas $n=6$ ?
Et de bien écrire ici $\phi(P)$ dans la base canonique ?

O.G.
OG
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Re: endomorphisme de polynôme

Messagepar paspythagore » Mardi 24 Mars 2009, 12:46

Ou


$\begin{pmatrix} 0 & 1 & -2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 2 & -6 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 6 & 3 & -12 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ...\\ 0 & 0 & 0 & 0 & ... & ... & 0 & (n-1)(n-2) & n-1 & -n(n-1) \\ 0 & 0 & 0 & 0 & ... & ... & 0 & 0 & n(n-1) & n\\ 0 & 0 & 0 & 0 & ... & ... & ... & 0 & 0 & n(n+1) \end{pmatrix}$

j'essaie n =6.
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Re: endomorphisme de polynôme

Messagepar paspythagore » Mardi 24 Mars 2009, 13:00

Pour n = 6, ça doit donner ça.

$\begin{pmatrix} 0 & 1 & -2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & -6 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 6 & 3 & -12 & 0 & 0 \\ 0 & 0& 0 & 18 & 4 & -20& 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 32 & 5 & -30\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0& 50 & 6\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &0 & 72\end{pmatrix}$
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Re: endomorphisme de polynôme

Messagepar MC » Mardi 24 Mars 2009, 13:31

Non. Vérifie.

Cordialement.
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Re: endomorphisme de polynôme

Messagepar paspythagore » Mardi 24 Mars 2009, 14:50

$\begin{pmatrix} 0 & 1 & -2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & -6 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 6 & 3 & -12 & 0 & 0 \\ 0 & 0& 0 & 12 & 4 & -20& 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 20 & 5 & -30\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0& 30 & 6\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &0 & 42\end{pmatrix}$
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Re: endomorphisme de polynôme

Messagepar MC » Mardi 24 Mars 2009, 15:56

Ca a déjà une meilleure tête. Ensuite?
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Re: endomorphisme de polynôme

Messagepar paspythagore » Mardi 24 Mars 2009, 18:28

Merci à vous 2 pour votre patience. Je ne sais pas si c'est le mistral mais je me suis un énervé sur cette matrice.

Pour n = 6, det (M-X Id) = -X (2-X)(6-X)(12-X)(20-X)(30-X)(42-X).

Donc 7 racines simples, M est diagonalisable.

Pour n, $det(M-X Id) \ = \  -X \ (2-X) \ (6-X) \ (12-X) \ ... \ ((n-2)(n-1) \ - \ X) \ (n(n-1) \ - \ X) \ (n (n+1) \ - \ X)$

Donc det (M-X Id) se décompose en un produit de facteurs du premier degré et M est diagonalisable.
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Re: Endomorphisme de polynôme

Messagepar MC » Mardi 24 Mars 2009, 20:04

paspythagore a écrit:Donc det (M-X Id) se décompose en un produit de facteurs du premier degré et M est diagonalisable.


Comme tout polynôme non constant sur $\mathbb{C}$ se décompose en produit de facteurs du premier degré (d'Alembert - Gauss), toute matrice complexe serait donc diagonalisable?

Ton argument est pour le moins mal formulé!
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Re: Endomorphisme de polynôme

Messagepar paspythagore » Mardi 24 Mars 2009, 20:48

euh..
J'ai oublié de dire que le tout se passait dans $\R$ ou c'est plus grave ?
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Re: Endomorphisme de polynôme

Messagepar MC » Mardi 24 Mars 2009, 20:59

Tu ne vois pas le problème. Reprenons. Peux-tu me citer EXACTEMENT la condition suffisante de diagonalisabilité que tu utilises?
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Re: Endomorphisme de polynôme

Messagepar paspythagore » Mardi 24 Mars 2009, 21:21

Si dim M = n+1 et si $\phi$ a n+1 valeurs propres distinctes, alors $\phi$ est diagonalisable.
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Re: Endomorphisme de polynôme

Messagepar MC » Mardi 24 Mars 2009, 22:02

$\phi$, c'est M?

Est-ce que tu penses que (pour une matrice carrée M de taille n+1) "det (M-X Id) se décompose en un produit de facteurs du premier degré" et "M a n+1 valeurs propres distinctes" veulent dire la même chose?
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Re: Endomorphisme de polynôme

Messagepar paspythagore » Mercredi 25 Mars 2009, 08:17

Bonjour et merci d'insister sur ces notions, c'est effectivement pas clair pour moi. M est la matrice qui représente l'endomorphisme $\phi$ dans la base canonique de l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à n.

Si le polynôme caractéristique de M admet n racines distinctes dans $\R$, c'est qu'il peut se décomposer en un produit de facteurs du premier degré et que M est diagonalisable.
Si les racines ne sont pas distinctes, il faut s'assurer qu'avec une racine double (par exemple), on puisse avoir le produit de 2 facteurs du premier degré ( $(X \ - \ a)^2$ ).

C'est ce que je comprends.
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Re: Endomorphisme de polynôme

Messagepar MC » Mercredi 25 Mars 2009, 08:27

Considère la matrice

$$\left(\begin{array}{cc} 1&1\\ 0&1\end{array}\right)\;.$$


Quel est son polynôme caractéristique? Est-elle diagonalisable?

Autre question : que veut dire pour toi "$a$ est racine de multiplicité $\geq 2$ du polynôme $P$"? Est-ce que c'est différent de "$(X-a)^2$ divise $P$"?

Cordialement.
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Re: Endomorphisme de polynôme

Messagepar paspythagore » Mercredi 25 Mars 2009, 09:33

det (M - X Id) = $ \begin{vmatrix} 1-X & 1\\ 0 & 1-X \end{vmatrix} = (1 - X)^2$

Le polynôme caractéristique admet une racine double : 1.

$(A - Id) \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \ = \  \begin{pmatrix}0 &1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \ = \ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

Ce qui donne : $ \left\{\begin{matrix} x_2 \ = \ 0\\ x_1 \end{matrix}\right $

La dimension de sev est de dimension 1 (et on a une racine double), M n'est pas diagonalisable.

Autre question : que veut dire pour toi "a est racine de multiplicité $\geq 2$ du polynôme P"? Est-ce que c'est différent de "$(X-a)^2$ divise P"?


"a est racine de multiplicité 2" est la même chose que "$(X-a)^2$ divise P"
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Re: Endomorphisme de polynôme

Messagepar MC » Mercredi 25 Mars 2009, 09:53

Tu vois que le polynôme caractéristique de la matrice M que je donnais en exemple est un produit de deux facteurs du premier degré, mais que la matrice M n'est pourtant pas diagonalisable.
L'argument que tu utilisais
paspythagore a écrit:Donc det (M-X Id) se décompose en un produit de facteurs du premier degré et M est diagonalisable.

n'est donc pas recevable. Peux-tu donner un argument valable?
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Re: Endomorphisme de polynôme

Messagepar paspythagore » Mercredi 25 Mars 2009, 10:25

Simplement rajouter qu'il n'y a que des racines simples comme solution du polynôme caractéristique.
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