Endomorphisme de polynôme

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

Modérateur: gdm_aidesco

Règles du forum
Merci d'éviter le style SMS dans vos messages et de penser à utiliser la fonction Recherche avant de poster un message. Pour joindre des fichiers à vos messages, consulter ce sujet.
> Penser à utiliser le mode LaTeX (voir ici) afin de rendre vos formules plus lisibles.
> Ne poster qu'un exercice (ou problème) par sujet et indiquer son niveau précis dans le titre du message.

Re: Endomorphisme de polynôme

Messagepar paspythagore » Vendredi 27 Mars 2009, 10:50

L'image de 1 c'est X et l'image de X c'est 1.

$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 &0 \end{pmatrix}$

Le polynôme caractéristique est : $P_{car} \ = (-X)^2 \ - \ 1 \ = \ (X-1)(X+1)$

Les valeurs propres -1 et 1.

Les espaces propres sont les noyaux de (f - Id) et de (f +Id) soient:

$\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$
paspythagore
Exa-utilisateur
 
Messages: 2287
Inscription: Mercredi 19 Novembre 2008, 15:35
Statut actuel: Post-bac

Publicité

Re: Endomorphisme de polynôme

Messagepar MC » Vendredi 27 Mars 2009, 16:01

Ok, ça roule. Et maintenant, tu peux donner des vecteurs propres et voir quels degrés ils ont?
MC
Méga-utilisateur
 
Messages: 400
Inscription: Jeudi 24 Avril 2008, 15:59
Statut actuel: Actif et salarié | Professeur des universités

Re: Endomorphisme de polynôme

Messagepar paspythagore » Vendredi 27 Mars 2009, 16:14

$X-1$ et $X+1$ tout 2 de degré 1.
paspythagore
Exa-utilisateur
 
Messages: 2287
Inscription: Mercredi 19 Novembre 2008, 15:35
Statut actuel: Post-bac

Re: Endomorphisme de polynôme

Messagepar MC » Vendredi 27 Mars 2009, 17:04

D'accord, on y est. Donc à deux valeurs propres différentes peuvent correspondre de vecteurs propres dans l'espace des polynômes de même degré.
Maintenant, revenons à ton problème. La question exacte était de montrer que deux vecteurs propres associés à une même valeur propre sont de même degré, c'est bien ça?
Quelle est la dimension du sous-espace propre associé à une valeur propre?
Si P et Q sont deux vecteurs propre associés à la même valeur propre, quelle relation y a-t-il entre P et Q ?
MC
Méga-utilisateur
 
Messages: 400
Inscription: Jeudi 24 Avril 2008, 15:59
Statut actuel: Actif et salarié | Professeur des universités

Re: Endomorphisme de polynôme

Messagepar paspythagore » Vendredi 27 Mars 2009, 17:55

D'accord, on y est.

Merci de ta patience.

La question exacte était de montrer que deux vecteurs propres associés à une même valeur propre sont de même degré, c'est bien ça?

Oui.

Quelle est la dimension du sous-espace propre associé à une valeur propre?

Les valeurs propres sont toutes différentes, les sous espaces propres associés sont de dimension 1 ?


Si P et Q sont deux vecteurs propre associés à la même valeur propre, quelle relation y a-t-il entre P et Q ?

Ce que je ne comprends pas c'est l'on puisse associer deux vecteurs propres à une valeur propre (qui est une racine simple du polynôme caractéristique) sans qu'ils soient colinéaires : $P \ = \ \alpha\ Q$ ?
paspythagore
Exa-utilisateur
 
Messages: 2287
Inscription: Mercredi 19 Novembre 2008, 15:35
Statut actuel: Post-bac

Re: Endomorphisme de polynôme

Messagepar MC » Vendredi 27 Mars 2009, 19:10

paspythagore a écrit:Ce que je ne comprends pas c'est l'on puisse associer deux vecteurs propres à une valeur propre (qui est une racine simple du polynôme caractéristique) sans qu'ils soient colinéaires : $P  =  \alpha\, Q$ ?


Moi non plus, je ne le comprendrais pas. Si une valeur propre est simple, son espace propre associé est de dimension 1, et deux vecteurs non nul dans cette droite vectorielle sont bel et bien colinéaires. Et s'il s'agit de polynômes, ils ont donc même ...
Dernière édition par MC le Vendredi 27 Mars 2009, 22:51, édité 1 fois.
MC
Méga-utilisateur
 
Messages: 400
Inscription: Jeudi 24 Avril 2008, 15:59
Statut actuel: Actif et salarié | Professeur des universités

Re: Endomorphisme de polynôme

Messagepar paspythagore » Vendredi 27 Mars 2009, 19:22

Même degré.
paspythagore
Exa-utilisateur
 
Messages: 2287
Inscription: Mercredi 19 Novembre 2008, 15:35
Statut actuel: Post-bac

Re: Endomorphisme de polynôme

Messagepar paspythagore » Samedi 28 Mars 2009, 10:07

Merci beaucoup à MC, Guiguiche et OG pour ce cours.
paspythagore
Exa-utilisateur
 
Messages: 2287
Inscription: Mercredi 19 Novembre 2008, 15:35
Statut actuel: Post-bac

Précédente

Retourner vers Exercices et problèmes : Supérieur

 


  • Articles en relation
    Réponses
    Vus
    Dernier message

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum: Bing [Bot], Google [Bot] et 10 invités