Endomorphisme de polynôme

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

Modérateur: gdm_aidesco

Règles du forum
Merci d'éviter le style SMS dans vos messages et de penser à utiliser la fonction Recherche avant de poster un message. Pour joindre des fichiers à vos messages, consulter ce sujet.
> Penser à utiliser le mode LaTeX (voir ici) afin de rendre vos formules plus lisibles.
> Ne poster qu'un exercice (ou problème) par sujet et indiquer son niveau précis dans le titre du message.

Re: Endomorphisme de polynôme

Messagepar MC » Mercredi 25 Mars 2009, 11:54

Ben voila...

Le fait que le polynôme caractéristique se décompose en un produit de facteurs du premier degré (autrement dit, que le polynôme caractéristique soit scindé) ne suffit absolument pas pour avoir la diagonalisabilité de la matrice. La condition suffisante à utiliser ici, c'est que le polynôme caractéristique soit scindé à RACINES SIMPLES.
MC
Méga-utilisateur
 
Messages: 400
Inscription: Jeudi 24 Avril 2008, 15:59
Statut actuel: Actif et salarié | Professeur des universités

Publicité

Re: Endomorphisme de polynôme

Messagepar paspythagore » Mercredi 25 Mars 2009, 13:59

Merci.

Je dois finir en démontrant que les vecteurs propres associés à une même valeur propre sont de même degré.

Est ce que le fait que les valeurs propres soient distinctes 2 à 2 suffit. Quel est le degré d'un vecteur propre ?
paspythagore
Exa-utilisateur
 
Messages: 2287
Inscription: Mercredi 19 Novembre 2008, 15:35
Statut actuel: Post-bac

Re: Endomorphisme de polynôme

Messagepar guiguiche » Mercredi 25 Mars 2009, 14:49

paspythagore a écrit:Quel est le degré d'un vecteur propre ?

Les vecteurs sont des polynômes ici :wink:
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
guiguiche
Modérateur
 
Messages: 8061
Inscription: Vendredi 06 Janvier 2006, 15:32
Localisation: Le Mans
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Re: Endomorphisme de polynôme

Messagepar paspythagore » Mercredi 25 Mars 2009, 15:03

Merci,
mais alors je ne comprends ce qu'il faut chercher.
paspythagore
Exa-utilisateur
 
Messages: 2287
Inscription: Mercredi 19 Novembre 2008, 15:35
Statut actuel: Post-bac

Re: Endomorphisme de polynôme

Messagepar guiguiche » Mercredi 25 Mars 2009, 15:11

Je suppose que si les valeurs propres sont notées (dans l'ordre croissant) $\lambda_0<\lambda_1<\dots<\lambda_n$ alors tout vecteur propre associé à la valeur propre $\lambda_k$ est un polynôme de degré $k$.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
guiguiche
Modérateur
 
Messages: 8061
Inscription: Vendredi 06 Janvier 2006, 15:32
Localisation: Le Mans
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Re: Endomorphisme de polynôme

Messagepar paspythagore » Mercredi 25 Mars 2009, 16:00

Je suppose que si les valeurs propres sont notées (dans l'ordre croissant) $\lambda_0<\lambda_1<\dots<\lambda_n$ alors tout vecteur propre associé à la valeur propre $\lambda_k$ est un polynôme de degré $k$.


Oui mais je pensais que c'était toujours vrai.
paspythagore
Exa-utilisateur
 
Messages: 2287
Inscription: Mercredi 19 Novembre 2008, 15:35
Statut actuel: Post-bac

Re: Endomorphisme de polynôme

Messagepar guiguiche » Mercredi 25 Mars 2009, 20:59

paspythagore a écrit:Oui mais je pensais que c'était toujours vrai.

Pas du tout.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
guiguiche
Modérateur
 
Messages: 8061
Inscription: Vendredi 06 Janvier 2006, 15:32
Localisation: Le Mans
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Re: Endomorphisme de polynôme

Messagepar paspythagore » Mercredi 25 Mars 2009, 21:06

Alors j'ai rien compris.
paspythagore
Exa-utilisateur
 
Messages: 2287
Inscription: Mercredi 19 Novembre 2008, 15:35
Statut actuel: Post-bac

Re: Endomorphisme de polynôme

Messagepar guiguiche » Mercredi 25 Mars 2009, 21:52

La technique consiste le plus souvent à identifier les termes de plus haut degré de $\phi(P_k)$ et de $\la_kP_k$.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
guiguiche
Modérateur
 
Messages: 8061
Inscription: Vendredi 06 Janvier 2006, 15:32
Localisation: Le Mans
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Re: Endomorphisme de polynôme

Messagepar paspythagore » Mercredi 25 Mars 2009, 23:23

Je suis désolé mais j'ai vraiment du mal à comprendre.
Tu n'aurais pas un exemple sur une matrice 2 ou 3.

Merci.
paspythagore
Exa-utilisateur
 
Messages: 2287
Inscription: Mercredi 19 Novembre 2008, 15:35
Statut actuel: Post-bac

Re: Endomorphisme de polynôme

Messagepar MC » Jeudi 26 Mars 2009, 08:40

Bonjour,

Je prends le relais :wink:

Soit $E$ l'espace vectoriel des polynômes réels de degré $<2$. Soit $u:E\to E$ l'endomorphisme qui à $P\in E$ associe le reste de $X\,P$ dans la division par $X^2-1$. Quelles sont les valeurs propres $\lambda_1,\lambda_2$ de $u$? Est-ce que les vecteurs propres pour $\lambda_1$ ont un degré différent des vecteurs propres pour $\lambda_2$?

Cordialement.
MC
Méga-utilisateur
 
Messages: 400
Inscription: Jeudi 24 Avril 2008, 15:59
Statut actuel: Actif et salarié | Professeur des universités

Re: Endomorphisme de polynôme

Messagepar paspythagore » Jeudi 26 Mars 2009, 10:12

Bonjour et merci pour l'exo.

Je fais la division euclidienne $(aX^2 \ + \ bX \ + \ c) \ : \ (X^2 \ - 1) \ = \ a \ (X^2 \ - 1) \ + \ (bX \ + \ c \ a)$ (Est ce que l'on "dessiner" une division avec Latex dans ce forum ?)

Ce qui donne pour la matrice de l'endomorphisme :

$\begin{pmatrix} 0 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 0\\ 1 &0  &1 \end{pmatrix}$

Le polynôme caractéristique est : $P_{car} \ = \ -X \ (1-X)^2$

Une racine simple 0 et une racine double 1.

Pour les vecteurs propres, j'ai du mal :

J'obtiens $X^2 \ + \ 1$ pour $\lambda_0$ et $X$ pour $\lambda_1$ (qui est de dimension 1 et donc la matrice n'est pas diagonalisable).

Les vecteurs propres ont un degré différents pour les 2 valeurs propres.
paspythagore
Exa-utilisateur
 
Messages: 2287
Inscription: Mercredi 19 Novembre 2008, 15:35
Statut actuel: Post-bac

Re: Endomorphisme de polynôme

Messagepar MC » Jeudi 26 Mars 2009, 18:14

Quelle est la dimension de l'espace vectoriel des polynômes de degré < 2? N'y a-t-il pas quelque chose de bizarre avec ta matrice?
MC
Méga-utilisateur
 
Messages: 400
Inscription: Jeudi 24 Avril 2008, 15:59
Statut actuel: Actif et salarié | Professeur des universités

Re: Endomorphisme de polynôme

Messagepar paspythagore » Jeudi 26 Mars 2009, 18:34

J'ai fait inférieur ou égal à 2, je recommence.
paspythagore
Exa-utilisateur
 
Messages: 2287
Inscription: Mercredi 19 Novembre 2008, 15:35
Statut actuel: Post-bac

Re: Endomorphisme de polynôme

Messagepar paspythagore » Jeudi 26 Mars 2009, 19:28

Je fais la division euclidienne $(aX^2 \ + \ bX ) \ : \ (X^2 \ - 1) \ = a \ + \ (a \ + \ bX) $ (Est ce que l'on "dessiner" une division avec Latex dans ce forum ?)

Ce qui donne pour la matrice de l'endomorphisme :

$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 &1 \end{pmatrix}$

Le polynôme caractéristique est : $P_{car} \ = (1-X)^2$

Une racine double 1 qui est de dimension 2. Cette matrice était de façon triviale diagonale et diagonalisable.

Pour les vecteurs propres, il y en un de degré un et l'autre de degré 0....
paspythagore
Exa-utilisateur
 
Messages: 2287
Inscription: Mercredi 19 Novembre 2008, 15:35
Statut actuel: Post-bac

Re: Endomorphisme de polynôme

Messagepar MC » Jeudi 26 Mars 2009, 23:19

Ca ne va pas du tout. Essaie de réfléchir un peu. Est-ce que l'application linéaire que je t'ai proposée est vraiment l'identité?
MC
Méga-utilisateur
 
Messages: 400
Inscription: Jeudi 24 Avril 2008, 15:59
Statut actuel: Actif et salarié | Professeur des universités

Re: Endomorphisme de polynôme

Messagepar paspythagore » Vendredi 27 Mars 2009, 00:36

Et pourtant, je réfléchis...



$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 &0 \end{pmatrix}$

Le polynôme caractéristique est : $P_{car} \ = -X (1-X)$

Les valeurs propres 0 et 1.
paspythagore
Exa-utilisateur
 
Messages: 2287
Inscription: Mercredi 19 Novembre 2008, 15:35
Statut actuel: Post-bac

Re: Endomorphisme de polynôme

Messagepar MC » Vendredi 27 Mars 2009, 08:06

Non toujours pas.

Qu'est-ce que tu veux dire quand tu écris ça (qui n'est pas correct) :
paspythagore a écrit:$(aX^2 \ + \ bX ) \ : \ (X^2 \ - 1) \ = a \ + \ (a \ + \ bX)$


Pas besoin de dessiner des divisions euclidiennes. Il suffit d'écrire (pour la division euclidienne de $A$ par $B$):

$$A= B\,Q + R  \mbox{ avec } \deg R < \deg B \mbox{ ou } R=0.$$



Cordialement.
MC
Méga-utilisateur
 
Messages: 400
Inscription: Jeudi 24 Avril 2008, 15:59
Statut actuel: Actif et salarié | Professeur des universités

Re: Endomorphisme de polynôme

Messagepar paspythagore » Vendredi 27 Mars 2009, 09:38

Bonjour,

je veux dire que le reste de $X\,P$ dans la division par $X^2-1$ avec P un polynôme de la forme $aX \ + \ b$ est $\ (a \ + \ bX)$

Ce que je voulais dire (au lieu de l'énormité que j'ai écrite), c'est : $(aX^2 \ + \ bX )  \ =  a \ (X^2 \ - 1) \ +\ \ (a \ + \ bX)$

$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 &0 \end{pmatrix}$

Le polynôme caractéristique est : $P_{car} \ = -X (1-X)$

Les valeurs propres 0 et 1.

Les espaces propres $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 &0 \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$

Les vecteurs propres sont $1 \ + \  X$ et $ X$ ?

Je suis désolé de vous poser des questions d'un niveau si bas mais si je pouvais acquérir définitivement les notions de vecteurs propres et de matrice d'endomorphisme, ça me permettrait d'avancer.
paspythagore
Exa-utilisateur
 
Messages: 2287
Inscription: Mercredi 19 Novembre 2008, 15:35
Statut actuel: Post-bac

Re: Endomorphisme de polynôme

Messagepar MC » Vendredi 27 Mars 2009, 10:14

Non, encore raté!
Tu écris la matrice de l'application linéaire dans la base de monômes (1,X). Quelle est l'image de 1? Quelle est l'image de X?

Ensuite, quel sens cela a quand tu écris
paspythagore a écrit:Les espaces propres \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 &0 \end{pmatrix} et \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}

Duis les choses clairement : les espaces propres sont les noyaux de etc.
MC
Méga-utilisateur
 
Messages: 400
Inscription: Jeudi 24 Avril 2008, 15:59
Statut actuel: Actif et salarié | Professeur des universités

PrécédenteSuivante

Retourner vers Exercices et problèmes : Supérieur

 


  • Articles en relation
    Réponses
    Vus
    Dernier message

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum: Exabot [Bot] et 6 invités