Endomorphisme Cyclique

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Endomorphisme Cyclique

Messagepar Ash'Ka » Jeudi 20 Avril 2006, 14:21

bonjour,

Je dois montrer la propriété suivante :
Soit $u$ un endormorphisme de $E$ (de dimension $n$) diagonalisable
Déduire de $(u-\lambda_1Id)\circ(u-\lambda_2Id)\circ...\circ(u-\lambda_pId)=0$ (p est le nombre de valeur propre) que si $(Id,u,...,u^{n-1})$ est une famille libre, alors $u$ a $n$ valeurs propres 2 à 2 distinctes.

Merci de votre aide
Dernière édition par Ash'Ka le Jeudi 20 Avril 2006, 16:01, édité 1 fois.
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Messagepar sotwafits » Jeudi 20 Avril 2006, 15:10

L'énoncé est faux (je pense qu'il manque une hypothèse)
Contre-exemple : $M=\begin{pmatrix}0 & 1\\0 & 0\end{pmatrix}$
$(I_2,M)$ est libre mais $M$ n'a qu'une valeur propre.
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Messagepar Ash'Ka » Jeudi 20 Avril 2006, 16:01

Oui c'est vrai j'ai oublié de mettre l'hypothèse u est diagonalisable, je vais rééditer l'énoncer
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Messagepar sotwafits » Jeudi 20 Avril 2006, 17:49

C'est bien ce que je pensais.

L'exercice est presque évident (avec l'indication) : quel est le degré de $(X-\lambda_1)\cdots(X-\lambda_p)$ ?
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Messagepar Ash'Ka » Vendredi 21 Avril 2006, 00:28

Ce polynome est de degrée p, mais je vois pas le rapport...
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Messagepar sotwafits » Vendredi 21 Avril 2006, 01:05

Le rapport, c'est que dire que la famille $(Id,u,\ldots,u^{n-1})$ est libre signifie qu'il n'existe pas de polynôme annulateur de $u$, de degré $<n$ (sauf $0$).

C'est presque fini.
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Messagepar Ash'Ka » Vendredi 21 Avril 2006, 10:24

J'ai compris! Merci, je n'avais pas vu ça comme ça.
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