Ecriture de réels en base n

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Ecriture de réels en base n

Messagepar fractalux » Vendredi 16 Mars 2007, 18:23

Bonjour,
en travaillant sur les réels, je me suis demandé s'il existait une démonstration de ceci (théorème ?) :

$$\forall x \in [0,1], ~ n \in \N^*\!-\!\{1\} , ~ \exists (x_k)_k \text{ ~ tel que ~ } x = \ds\sum_{k=1}^\infty \frac{x_k}{n^k} \text{ ~ avec ~ } x_i \in \{0,...,n-1\}$$

.
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Messagepar jobherzt » Dimanche 18 Mars 2007, 23:27

je ne comprends pas trop la question, en fixant par exemple $n=10$, et en posant que $x_k$ est la suite des decimales de ton reel alors ca marche evidemment, mais c'est une definition "ad hoc" qui n'apporte rien d'interressant... peut etre que tu sous entends implicitement "avec une formule pour $x_k$", et dans ce cas bien sur ca ne marche plus du tout....
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Messagepar davou03 » Lundi 19 Mars 2007, 07:34

Salut
Bien sûr, on peut démontrer cela.
On procède par dichotomie en encadrant, pour chaque décimale, par la valeur approchée par défaut et par excès.
On obtient alors deux suites adjacentes qui convergent vers le réel donné.
Je n'ai pas trop le temps de développer mais ce n'est pas trop compliqué de le mettre en forme.
Par contre, attention, ton développement décimal existe mais n'est pas unique.
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Messagepar fractalux » Lundi 19 Mars 2007, 09:10

jobherzt a écrit:je ne comprends pas trop la question, en fixant par exemple $n=10$, et en posant que $x_k$ est la suite des decimales de ton reel alors ca marche evidemment, mais c'est une definition "ad hoc" qui n'apporte rien d'interressant... peut etre que tu sous entends implicitement "avec une formule pour $x_k$", et dans ce cas bien sur ca ne marche plus du tout....


Ma question était de démontrer que pour toute base, tout réel de [0,1] admettait au moins un développement décimal (la suite $x_ k$) mais c'est vrai, j'aurai du préciser ce qu'était la définition de ce réel. On en revient finalement à la question "c'est quoi les réels ?". Et ce n'est peut-être en posant n=10 qu'on en vient à la définition la plus simple mais n=2 puis on considère l'ensemble des suites de {0,1} (de cardinal $2^\N$) ce qui donne l'intervalle [0,1], puis l'ensemble de réels grâce à l'Arctan.

davou03 a écrit:Bien sûr, on peut démontrer cela. On procède par dichotomie en encadrant, pour chaque décimale, par la valeur approchée par défaut et par excès. On obtient alors deux suites adjacentes qui convergent vers le réel donné


La dichotomie est une bonne idée, en effet, je vais voir ça, merci.
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Messagepar jobherzt » Lundi 19 Mars 2007, 12:57

ben non, ca ne marche pas, car la grosse majorité des reels ne sont meme pas definissables, donc quant a exhiber une suite qui les encadre je ne t'en parle meme pas.. donc ca n'est ni vraiment vrai, ni vraiment faux, ta suite existe c'est indeniable, en effet elle correspond a l'ecriture du reel dans une base donné, mais en pratique tu ne pourras le faire que dans des cas bien particulier.. en effet, tout depend de la "maniere" dont tu connais un reel... en fait, il faut savoir que l'ensemble des reels tels qu'il existe une formule permettant de l'encadrer est denombrable, en fait l'ensemble de tous les reels qui pourraient apparaitre dans une formule, un calcul, que tu pourrais definir de quelque maniere que ce soit, aussi tordue soit elle, est encore denombrable cad ridiculement minuscule par rapport a l'ensemble des reels.
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Messagepar linfir » Lundi 19 Mars 2007, 19:12

Oui, enfin, prendre

$$ x_k = E(n^k x) - nE(n^{k-1}x) $$


$E$ est la partie entière, convient (pour $x \in [0;1[$).

Ensuite, on peut parler de réels définissables, de constructivisme, et tout et tout, mais bon...
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Messagepar jobherzt » Lundi 19 Mars 2007, 19:27

ben oui mais la tu tournes en rond :)

ce que je voulais dire, c'est que sauf sur des cas particulier, manipuler la suite de decimales comme ca menent a des tautologies ou des choses pas tres interressantes en pratique.

[edit]

et pis d'abord je ne suis pas constructiviste... loin s'en faut !
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Messagepar Tryphon » Lundi 19 Mars 2007, 19:32

Est-ce que je suis le seul à n'absolûment rien comprendre du sujet dont vous débattez ?
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Messagepar kojak » Lundi 19 Mars 2007, 19:44

Tryphon a écrit:Est-ce que je suis le seul à n'absolûment rien comprendre du sujet dont vous débattez ?

Je plussoie, même si cela me fait penser aux nombres de Liouville :roll:
pas d'aide par MP
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Messagepar jobherzt » Lundi 19 Mars 2007, 19:48

pour etre franc, je ne vois pas non plus très bien où linfir veut en venir.....
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Messagepar linfir » Lundi 19 Mars 2007, 19:51

jobherzt a écrit:ce que je voulais dire, c'est que sauf sur des cas particulier, manipuler la suite de decimales comme ca menent a des tautologies ou des choses pas tres interressantes en pratique.


Et ce que je voulais dire, c'est "exactement autant que de parler de l'ensemble des réels"...
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Messagepar jobherzt » Lundi 19 Mars 2007, 19:55

linfir a écrit:
jobherzt a écrit:ce que je voulais dire, c'est que sauf sur des cas particulier, manipuler la suite de decimales comme ca menent a des tautologies ou des choses pas tres interressantes en pratique.


Et ce que je voulais dire, c'est "exactement autant que de parler de l'ensemble des réels"...


bien sur que non... :?
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Messagepar fractalux » Mardi 20 Mars 2007, 14:38

en fait, les suites adjacentes, je ne vois pas, par contre la suite de $x_k$ de linfir est peut-être plus constructive.
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Messagepar Tryphon » Mardi 20 Mars 2007, 17:37

Sérieusement, est-ce qu'on pourrait préciser la question de départ ?
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Messagepar fractalux » Mardi 20 Mars 2007, 21:54

Bon, reformulons cela en restreignant un peu.

Soit $x\in [0,1[$ et $x=0,x_1x_2x_3...$, son développement propre en base 10, montrer qu'il existe un développement en base $N\in\N$, ie. une suite $(y_k)_k$ telle que $x=\sum_{k=1}^\infty y_k / N^k$ et $y_k\in \{0,...,N-1\}$.
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Messagepar guiguiche » Mardi 20 Mars 2007, 21:56

Que doit avoir de particulier ce développement en base $N$ ? Parce que je ne vois pas le problème s'il n'y a aucune contrainte.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
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Messagepar la main gauche » Mercredi 21 Mars 2007, 10:35

jobherzt a écrit:ben non, ca ne marche pas, car la grosse majorité des reels ne sont meme pas definissables, donc quant a exhiber une suite qui les encadre je ne t'en parle meme pas.. donc ca n'est ni vraiment vrai, ni vraiment faux, ta suite existe c'est indeniable, en effet elle correspond a l'ecriture du reel dans une base donné, mais en pratique tu ne pourras le faire que dans des cas bien particulier.. en effet, tout depend de la "maniere" dont tu connais un reel... en fait, il faut savoir que l'ensemble des reels tels qu'il existe une formule permettant de l'encadrer est denombrable, en fait l'ensemble de tous les reels qui pourraient apparaitre dans une formule, un calcul, que tu pourrais definir de quelque maniere que ce soit, aussi tordue soit elle, est encore denombrable cad ridiculement minuscule par rapport a l'ensemble des reels.


Salut. Soit je suis bête, soit vous vous mélangez un peu les pinceaux. J'ai l'impression que le *il existe* que j'ai mis en rouge là haut vient de ce que l'ensemble des énoncés vrais de la théorie des ensembles est dénombrable, bref que ce texte mélange math et métamaths, ce qui produit toujours des calembours betzouilles.
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Messagepar Tryphon » Mercredi 21 Mars 2007, 10:44

fractalux a écrit:Bon, reformulons cela en restreignant un peu.

Soit $x\in [0,1[$ et $x=0,x_1x_2x_3...$, son développement propre en base 10, montrer qu'il existe un développement en base $N\in\N$, ie. une suite $(y_k)_k$ telle que $x=\sum_{k=1}^\infty y_k / N^k$ et $y_k\in \{0,...,N-1\}$.


Ca ne pose aucun problème, tu reprends la démonstration de l'écriture en base $10$. Tu prends $y_k = E(N^kx)$ et ça marche tout seul. Question résolue, on passe à la suivante...
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Messagepar jobherzt » Mercredi 21 Mars 2007, 10:47

non, je ne melange pas, je signale simplement que l'ensemble des reels dit "calculables" est denombrable, parce que la haut ca parlait de dichotomie, toussa, et je rappelais que pour approcher un reel il fallait deja le "connaitre" d'une maniere ou d'une autre... c'est une reflexion sans doute parfaitement inutile, mais comme je ne vois absolument pas ou il veut en venir je me dis que ca ne coute rien :wink:
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Messagepar la main gauche » Mercredi 21 Mars 2007, 12:38

Mais l'OP n'a jamais parlé de nombres réels calculables! Il demande simplement si le développement décimal des nombres réels est un phénomène particulier ou général, et pose la question de l'existence d'un développement n-adique pour tout nombre réel. C'est bien ça?
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