Droite affine

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Droite affine

Messagepar Kazik » Jeudi 28 Décembre 2006, 11:32

Bonjour,
j'ai quelques difficultés sur cette exercice :
soit $E$ l'ensemble défini sur $\R^3$ par :
$x=1+2t$
$y=1+4t$ $t\in\R$
$z=3-4t$

Montrer que cette ensemble est une droite affine de $\R^3$ qu'on caractérisera explicitement.
Démontrer que cette ensemble est égal à l'ensemble $F$ défini sur $\R^3$ par :
$x=4+\theta$
$y=7+2\theta$ $\theta\in\R$
$z=-3-2\theta$
---

Je sais que dans $\R^3$ une droite est l'intersection de deux plans mais je n'arrive pas à en trouver les équations.
On a par exemple :
$y+z-4=0$ (1)
et
$-2x+y-1=0$ (2)

un vecteur normal du plan d'équation (1) est (0,1,1)
un vecteur normal du plan d'équation (2) est (-2,1,0)

c'est deux vecteurs n'étant pas colinéaires, les deux plans (1) et (2) ne sont pas coplanaires : leurs intersection défini bien une droite.
---

Dans la suite, si on pose $t=\frac{3+\theta}{2}$ on obtient le résultat voulu, mais ça me parait bien trop simple ?

merci.
Kazik
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Messagepar kojak » Jeudi 28 Décembre 2006, 11:40

bonjour,
Pour le premier, tu poses $A(1,1,3)$ et $\vec{u}(2,4,-4)$ et $M(x,y,z)$ et tu traduis ton système en relation vectorielle et tu as la réponse immédiatement : tu n'as pas besoin de passer par des plans, me semble-t-il.
Idem pour le second...
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Messagepar Kazik » Jeudi 28 Décembre 2006, 12:03

Avec ce que vous avez posé on obtient donc que :
$M=A+t\vec{u}$

et donc ?
je vois pas trop en faite
Kazik
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Messagepar tigris » Jeudi 28 Décembre 2006, 12:18

:)

D'après le cours de terminale :
$\left \{\begin{array}{l}x=1+2t\\y=1+4t\\ z=3-4t \end{array}$ $t \in \mathbb{R}$ est une représentation paramétrique de la droite passant par $A(1,1,3)$ et dirigée par $\vec{u}\left(\begin{array}{c}2\\4\\-4\end{array}\right)$.

$\left \{\begin{array}{l}x=4+\theta\\y=7+2\theta\\ z=-3-2\thetat \end{array}$ $\theta \in \mathbb{R}$ est une représentation paramétrique de la droite passant par $B(4,7,-3)$ et dirigée par $\vec{v}\left(\begin{array}{c}1\\2\\-2\end{array}\right)$.

Il est clair que ces droites sont parallèles puisque $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires. Il suffit de constater que $B$ appartient à la première droite ($t_B=\frac{3}{2}$) pour constater qu'il s'agit de deux représentations paramétriques de la même droite.
:)
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Re: Droite affine

Messagepar Kazik » Jeudi 28 Décembre 2006, 12:27

Kazik a écrit:Montrer que cette ensemble est une droite affine de $\R^3$ qu'on caractérisera explicitement.


je n'est pas compris comment on trouve directement le fait qu'il s'agisse d'une droite
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Messagepar kojak » Jeudi 28 Décembre 2006, 12:47

Kazik a écrit:$M=A+t\vec{u}$ et donc ?
donc
$\vect{AM}=t\vec{u}$ avec $t \in\R$ alors $M$ décrit la droite passant par $A$ et dirigée par $\vec{u}$ (les vecteurs $\vect{AM}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires).
sinon pour la suite, ce qu'a dit tigris est tout à fait correct...
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Messagepar Kazik » Jeudi 28 Décembre 2006, 12:51

$M=A+t\vec{u}$ équivaut à $\vect{AM}=t\vec{u}$ ?
Cela vient d'ou ?
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Re: Droite affine

Messagepar Arnaud » Jeudi 28 Décembre 2006, 12:53

Kazik a écrit:
Kazik a écrit:Montrer que cette ensemble est une droite affine de $\R^3$ qu'on caractérisera explicitement.


je n'ai pas compris comment on trouve directement le fait qu'il s'agisse d'une droite


Tu prends un point et tu te déplaces suivant la direction d'un seul vecteur $\vec{u}$ en partant de ce point.

Un peu d'imagination et tu comprendras que c'est une droite :wink:
D'ailleurs demande toi combien de vecteurs il te faut pour engendrer un plan étant donné un point de départ.

Pour l'explication rigoureuse, voir post de kojak précédent.
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Messagepar Arnaud » Jeudi 28 Décembre 2006, 12:53

Kazik a écrit:$M=A+t\vec{u}$ équivaut à $\vect{AM}=t\vec{u}$ ?
Cela vient d'ou ?


C'est la même relation, c'est comme ça que c'est défini.
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Messagepar kojak » Jeudi 28 Décembre 2006, 12:58

Kazik a écrit:$M=A+t\vec{u}$
Personellement je n'aime pas trop cette écriture surtout si on ne la comprend pas très bien.... Je préfère repartir directement des coordonnées à l'aide du système original. Et donc avec les notations proposées précédemment, comment calcules-tu les corrdonnées du vecteur $\vect{AM}$ et celles de $t\vec{u}$ ? sachant que finalement elles sont égales...
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Messagepar Kazik » Jeudi 28 Décembre 2006, 13:00

pour calculer les coordonnées de $\vec{AM}$ on prend les composantes de M - les composantes de A non ?
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Messagepar kojak » Jeudi 28 Décembre 2006, 13:01

Ben oui
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Messagepar Kazik » Jeudi 28 Décembre 2006, 13:04

ah ok $M-A=t\vec{u}$, je voyais pas cela comme ça!
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Messagepar kojak » Jeudi 28 Décembre 2006, 13:07

Ben comment le voyais tu alors ?
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Messagepar Kazik » Jeudi 28 Décembre 2006, 13:11

comme j'avais fait dans mon premier post!
J'ai un autre exos peut tu m'aider ?
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Messagepar kojak » Jeudi 28 Décembre 2006, 13:14

Kazik a écrit:J'ai un autre exos peut tu m'aider ?

Propose, et on verra bien :shock: Mais je ne te promets rien :roll:
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Messagepar kilébo » Jeudi 28 Décembre 2006, 13:17

Si je peux me permettre : il est souhaite de créer un nouveau sujet pour un nouvel exercice.
A une erreur de calcul et de raisonnement prêt, tout cela doit être correct.
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Messagepar Kazik » Jeudi 28 Décembre 2006, 14:10

kilébo a écrit:Si je peux me permettre : il est souhaite de créer un nouveau sujet pour un nouvel exercice.

oui, depuis le temps je me suis affranchi des règles!
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