DL et calcul d'une somme

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

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DL et calcul d'une somme

Messagepar Tunaki » Vendredi 12 Octobre 2007, 22:04

Bonjour!

Soit la fonction $f$ de $\R$ dans $\R$ définie par $f(t)=\left(e^t-1\right)^n$.
a) Calculer par deux méthodes différentes le DL en 0 à l'ordre $n$ de $f(t)$.

b) En déduire $S_{n,j}=\ds\sum_{k=1}^n (-1)^k \begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}k^j$ avec $0\le j \le n$, $j$ entier.

Bon déjà pour la a), je commence par dire:

$f(t)\underset{t\to 0}{=}\left(\ds\sum_{k=1}^n\dfrac{t^k}{k!}+o(t^n)\right)^n$

ce qui n'amène à pas grand chose.
La deuxième manière :

$f(t)=\ds\sum_{k=0}^n \begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} (-1)^k e^{(n-k)t}$
$f(t)=e^{nt}\ds\sum_{k=0}^n \begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} (-1)^k e^{-kt}$
d'où $f(t)\underset{t\to 0}{=}\left(\ds\sum_{p=0}^n\dfrac{(nt)^p}{p!}+o(t^n)\right)\times\ds\sum_{k=0}^n \left[ \begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} (-1)^k\left(\ds\sum_{x=0}^n\dfrac{(-kt)^x}{x!}+o(x^n)\right)\right]$
cad $f(t)\underset{t\to 0}{=}\left(\ds\sum_{p=0}^n\dfrac{(nt)^p}{p!}+o(x^n)\right)\times\ds\sum_{k=0}^n\left[\ds\sum_{x=0}^n\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} (-1)^{k+x}\dfrac{(kt)^x}{x!}+o(t^n)\right]$

avec ce deuxième terme, on voit apparaitre la somme à calculer (à peu près). Il a juste le $(-1)^x$ et $\dfrac{t^x}{x!}$ en trop. J'ai essayé de tout diviser par $\ds\sum_{x=0}^n (-1)^x\dfrac{t^x}{x!}$. Mais les choses ne se rendent pas beaucoup plus jolies...

J'ai essayé d'égaliser les deux expressions et de "simplifier" (en utilisant d'autre DL) un peu mais ça n'avance pas à grand chose. De toute façon, le $t$ se traine partout et qu'en faire ?
Dernière édition par Tunaki le Vendredi 12 Octobre 2007, 22:29, édité 1 fois.
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Re: DL et calcul d'une somme

Messagepar guiguiche » Vendredi 12 Octobre 2007, 22:12

Tu peux mettre à jour ton profil, s'il te plait ?

Pour ta seconde méthode, je n'aurais pas factorisé par $e^{nt}$ et j'aurais écrit le DL de chaque terme puis regroupement ...
Pour ta première méthode : bof. Formule de Taylor-Young directement ? (je n'ai pas essayé)
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
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Re: DL et calcul d'une somme

Messagepar Tunaki » Vendredi 12 Octobre 2007, 22:27

La première méthode ne donne pas grand chose oui. Maintenant, il y a peut-être une simplification que je n'ai pas vue...

Qu'entendez-vous par "regroupement"?

$f(t)\underset{t\to 0}{=}\ds\sum_{k=0}^n \left[\ds\sum_{p=0}^n\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}(-1)^k\dfrac{(n-k)^pt^p}{p!}\right]+o(t^n)$
Dernière édition par Tunaki le Samedi 13 Octobre 2007, 12:28, édité 1 fois.
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Re: DL et calcul d'une somme

Messagepar EricK » Samedi 13 Octobre 2007, 07:53

C'est en gros le problème 2.33 du Math Problems Notebook de Boju et Funar, Birkhäuser, 2007.

Si vous avez vraiment besoin, je peux vous poster la solution de ce bouquin.
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Re: DL et calcul d'une somme

Messagepar Tunaki » Samedi 13 Octobre 2007, 12:28

En fait j'aurais besoin d'une indication pour voir un peu ce qu'il faut faire et la (les) astuces à utiliser. La réponse en elle-même est secondaire :wink:
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Re: DL et calcul d'une somme

Messagepar EricK » Samedi 13 Octobre 2007, 14:04

Sauf que vu la tête de la réponse ...


Voilà l'énoncé du problème 2.33 du bouquin cité précédemment.

Prouver que
$\begin{equation*}\dfrac{1}{p!}\sum_{k=0}^{n}(-1)^{n-k}\binom{n}{k}k^p=     \begin{cases}         0&\text{si }0\leq p<n\\         1&\text{si } p=n\\         \frac{n}{2}&\text{si} p=n+1,\\         \frac{n(3n+1)}{24}&\text{si }p=n+2,\\         \frac{n^{2}(n+1)}{48}&\text{si} p=n+3\\         \frac{n(15n^{3}+30n^{2}+5n+1)}{1152}&\text{si} p=n+4\\     \end{cases} \end{equation*}$

(y a un truc qui cloche avec le Latex du forum ...)
[Edit kojak : normal quand, dans
Code: Tout sélectionner
\text{}
du texte on met les balises $\LaTeX$ et qu'on ne les met pas au tout début :wink: ]
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Re: DL et calcul d'une somme

Messagepar EricK » Samedi 13 Octobre 2007, 14:16

$\begin{aligned}     (e^{x}-1)^{n}&=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{n-k}\binom{n}{k}e^{kx}\\     &=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{n-k}\binom{n}{k}\left(\sum_{j=0}^{+\infty}\frac{k^{j}x^{j}}{j!}\right)\\     &=\sum_{j=0}^{+\infty}\frac{x^{j}}{j!}\left(\sum_{k=0}^{n}(-1)^{n-k}\binom{n}{k}k^j\right) \end{aligned}$
et
$ \begin{aligned}     (e^{x}-1)^{n}&=\left(x+\frac{1}{2!}x^{2}+\frac{1}{3!}x^{3}+\dotsb\right)^{n}\\     &=x^{n}+\frac{n}{2}x^{n+1}+\frac{n(3n+1)}{24}x^{n+2}+\frac{n^{2}(n+1)}{48}x^{n+3}+\frac{n(15n^{3}+30n^{2}+5n+1)}{1152}x^{n+4}+\dotsb \end{aligned}$
On obtient le résultat en identifiant les coefficients dans les deux développements.

[Edit kojak : ne pas oublier les balises $\LaTeX$]
Dernière édition par EricK le Samedi 13 Octobre 2007, 16:28, édité 1 fois.
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Re: DL et calcul d'une somme

Messagepar Tunaki » Samedi 13 Octobre 2007, 15:55

$\begin{aligned} (e^{x}-1)^{n}&=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{n-k}\binom{n}{k}e^{kx}\\ &=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{n-k}\binom{n}{k}\left(\sum_{j=0}^{+\infty}\frac{k^{j}x^{j}}{j!}\right)\\ &=\sum_{j=0}^{+\infty}\frac{x^{j}}{j!}\left(\sum_{k=0}^{n}(-1)^{n-k}\binom{n}{k}\right) \end{aligned}$


Je vois pas très bien comment tu fais pour passer de la ligne 2 à 3 ? Où est passé le terme $k^j$ ?

EDIT : OK, je vois ce que tu as fait, mais je ne toujours pas où est passé ce terme ?
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Re: DL et calcul d'une somme

Messagepar EricK » Samedi 13 Octobre 2007, 16:27

bah c'est assez simple ... je l'ai oublié, il se trouve dans les parenthèses ... :oops: :oops: :oops:
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Re: DL et calcul d'une somme

Messagepar Tunaki » Samedi 13 Octobre 2007, 17:14

Dans ton deuxième dévelopement, le passe de la ligne 1 à 2 me trouble fortement. Peux-tu expliquer un peu ?
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Re: DL et calcul d'une somme

Messagepar EricK » Samedi 13 Octobre 2007, 17:25

Fais le développement à la main pour $n=2$ et $n=3$, tu devrais voir d'où provient chaque terme (ou bien vu autrement, lorsque tu devéloppes de façon bourrine, quels sont les termes en $x^p$ pour un $p$ donné ?)
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Re: DL et calcul d'une somme

Messagepar Tunaki » Samedi 13 Octobre 2007, 17:50

Le dévelopement de $(a+b+c+...+n)^2$ donne un truc du genre $a^2+b^2+c^2+...+n^2+2ab+2ac+2ad+...+2an+2bc+2bd+...+2n(n-1)$ non?
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Re: DL et calcul d'une somme

Messagepar guiguiche » Dimanche 14 Octobre 2007, 08:16

Reprends tranquillement avec les petits o plutôt que les séries (sommes d'une infinité de termes) et permute l'ordre de deux sommations et regroupe.
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Re: DL et calcul d'une somme

Messagepar Tunaki » Dimanche 14 Octobre 2007, 12:39

On trouverait donc :

$\begin{aligned} f(t) & \underset{t\to 0}{=}\ds\sum_{k=0}^n\left[(-1)^{n-k}\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}\left(\ds\sum_{j=0}^n\dfrac{k^jt^j}{j!}+o(t^n)\right)\right]\\  & \underset{t\to 0}{=}\ds\sum_{k=0}^n\left[\ds\sum_{j=0}^n(-1)^{n-k}\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}\dfrac{k^jt^j}{j!}+o(t^n)\right] \end{aligned}$
Cette deuxième somme fait $0$ pour $j=0$ avec $n\ne0$ (on trouve le dévelopement par le binôme de newton de $(1-1)^n$), donc on peut la commencer à $1$.

$f(t)\underset{t\to 0}{=}\ds\sum_{k=0}^n\left[\ds\sum_{j=1}^n(-1)^{n-k}\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}\dfrac{k^jt^j}{j!}+o(t^n)\right]$
$f(t)\underset{t\to 0}{=}(-1)^n\ds\sum_{k=0}^n\left[\ds\sum_{j=1}^n(-1)^k\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}\dfrac{k^jt^j}{j!}+o(t^n)\right]$
$f(t)\underset{t\to 0}{=}(-1)^n\left(\underbrace{\ds\sum_{k=0}^n(-1)^k\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}\dfrac{k^0t^0}{0!}}_{=0}+\ds\sum_{k=0}^n(-1)^k\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}\dfrac{k^1t^1}{1!} + \ldots + \ds\sum_{k=0}^n(-1)^k\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}\dfrac{k^nt^n}{n!} + o(t^n)\right)$
$f(t)\underset{t\to 0}{=}t(-1)^n\ds\sum_{k=0}^n(-1)^k\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}k+\dfrac{t^2}{2}(-1)^n\ds\sum_{k=0}^n(-1)^k\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}k^2+\ldots+\dfrac{t^n}{n!}(-1)^n\ds\sum_{k=0}^n(-1)^k\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}k^n+o(t^n)$

Est-ce que ça c'est juste déjà ?
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