Division euclidienne

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Division euclidienne

Messagepar rador » Samedi 19 Mars 2011, 14:10

Bonjour,

Dans le cadre d'un problème d'algèbre linéaire, une question demande directement de calculer le reste de la division euclidienne de $X^{n}$, où n est un entier naturel, par $(X-\alpha)(X-\beta)$$\alpha$ et $\beta$ sont deux scalaires. Cette question me surprend car je ne comprend pas qui est X, et ne voit pas bien ce qu'on entend par "division euclidienne" dans ce cas...
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Re: Division euclidienne

Messagepar balf » Samedi 19 Mars 2011, 14:20

X est une indéterminée et il s'agit de la division euclidienne des polynômes. Par exemple, c'est résultat élémentaire que le reste de la division du polynôme P par X — $\alpha$ est P($\alpha$).

B.A.
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Re: Division euclidienne

Messagepar rebouxo » Samedi 19 Mars 2011, 17:38

On cherche les polynômes $Q$ et $R$ qui vérifient :
$ X^n = (X-  \alpha)(X-\beta)Q(X) + R(X)$

$Q$ est alors le quotient et $R$ le reste, comme dans la division euclidienne sur les entiers.

Reste à savoir sur quel ensemble sont pris les scalaires.

Olivier
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