[L2] Division Euclidienne et nombres premiers (résolu)

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[L2] Division Euclidienne et nombres premiers (résolu)

Messagepar Hiruma » Jeudi 20 Novembre 2008, 21:32

Bonjour,

J'ai 2 exercices où je bloque complètement.

Pour le premier : "Déterminer tous les entiers naturels $n$ tels que $n+1$ divise $n^2+1$". J'ai tenté une division Euclidienne, mais je n'ai pas de résultat. Je soupçonne que $n$ peut uniquement prendre les valeurs $0$ ou $1$ ie que $n+1$ ne divise pas $n^2+1,  \forall n  \in \N -\{0;1\}$. En utilisant une démonstration par récurrence, je n'arrive pas à prouver l'implication $P(n)$ vraie $=> P(n+1)$ vraie.

Pour le deuxième : "Démontrer que l'entier $ \ds\sum_{i=0}^{26} 2^i$ n'est pas premier". Je n'ai pas la mondre idée si ce n'est que ce nombre est impair en posant $ \ds\sum_{i=0}^{26} 2^i= 2\ds\sum_{i=1}^{26} 2^{i-1}+1$.

Merci de votre soutien.
Dernière édition par Hiruma le Vendredi 21 Novembre 2008, 22:23, édité 1 fois.
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Re: [L2] Division Euclidienne et nombres premiers

Messagepar guiguiche » Jeudi 20 Novembre 2008, 22:02

2) Déjà, tu peux exprimer ce nombre sans le symbole somme. Ensuite détermine les reste modulo 3, 5, 7, ... des entiers de la forme $2^n$ en fonction de $n$.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
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Re: [L2] Division Euclidienne et nombres premiers

Messagepar OG » Jeudi 20 Novembre 2008, 22:28

Si $n+1$ divise $n^2+1$ alors $n+1$ divise $n^2+1-(n+1)$.

O.G.
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Re: [L2] Division Euclidienne et nombres premiers

Messagepar Hiruma » Jeudi 20 Novembre 2008, 22:43

C'est sympathique comme méthode :D . Je vois clairement que le reste de $2^{n}$ modulo 7 donne une suite (de 27 nombres) (1,2,-3,1,2,-3...). Si on somme chaque terme, on trouve que $ \ds\sum_{i=0}^{26} 2^i  \equiv 0 [7]$.
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Re: [L2] Division Euclidienne et nombres premiers

Messagepar Hiruma » Vendredi 21 Novembre 2008, 10:18

OG a écrit:Si $n+1$ divise $n^2+1$ alors $n+1$ divise $n^2+1-(n+1)$.


J'étais parti comme cela au départ, mais je ne sais pas ce que je dois faire resortir...
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Re: [L2] Division Euclidienne et nombres premiers

Messagepar MC » Vendredi 21 Novembre 2008, 13:54

Bonjour,

Je partirais plutôt comme ça (en suivant plus ou moins l'idée de l'algorithme d'Euclide) : si $n+1$ divise $n^2+1$, alors il divise aussi $n^2+1 - (n+1)(n-1)$...

Cordialement,

MC
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Re: [L2] Division Euclidienne et nombres premiers

Messagepar Hiruma » Vendredi 21 Novembre 2008, 14:46

Bonjour,

Est-ce que quelque chose comme : "$(n+1)|(n^2+1) => (n+1)|(n^2+1-(n+1)(n-1)) => (n+1) | 2 => n=0$ ou $n=1$" est suffisant ? Je l'avais écrit mais ça me semblait trop simple...
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Re: [L2] Division Euclidienne et nombres premiers

Messagepar bibi6 » Vendredi 21 Novembre 2008, 20:45

Bonsoir,

Pour moi ta réponse à 1) est OK.

Par contre, ton argument à la question 2) devrait (selon moi) être un peu plus développé... mais tu as une bonne piste.
N'étant pas spécialement "arithméticien", j'aurais personnellement suivi la première idée de guiguiche (i.e., calculer la sommation), et j'y aurais fait apparaître un produit remarquable ("différence de cubes").
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Re: [L2] Division Euclidienne et nombres premiers

Messagepar Hiruma » Vendredi 21 Novembre 2008, 22:22

Je vais developper l'idée du 2), mais je pense que ça ira.

Merci à tous.
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