Division euclidienne de polynômes

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Division euclidienne de polynômes

Messagepar paspythagore » Lundi 23 Février 2009, 00:45

Bonjour, je sèche sur un classique du genre.

$X^n \ = \ Q_n \ (X \ + \ 1)(X  \ - \ 2) \ + \ R_n$

Je dois calculer $R_n(2)$ et $ R_n(-1)$

$deg \ R_n \ < \ 2$

Si $Q_n \ = 0$, $R_n \ = \  X^n$ et $R_n(2) \ = \ 2^n, R_n(-1) \ = \ (-1)^n$

$R_n$ est de la forme $aX \ + \ b$ et là je trouve des valeurs en puissance de n différentes selon que n soit pair ou impair.

Et ces résultats ne me satisfont pas.

Si quelqu'un peut m'aider.
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Re: Division euclidienne de polynômes

Messagepar OG » Lundi 23 Février 2009, 08:06

paspythagore a écrit:Bonjour, je sèche sur un classique du genre.

$X^n \ = \ Q_n \ (X \ + \ 1)(X  \ - \ 2) \ + \ R_n$

Je dois calculer $R_n(2)$ et $ R_n(-1)$

$deg \ R_n \ < \ 2$

Si $Q_n \ = 0$, $R_n \ = \  X^n$ et $R_n(2) \ = \ 2^n, R_n(-1) \ = \ (-1)^n$

$R_n$ est de la forme $aX \ + \ b$ et là je trouve des valeurs en puissance de n différentes selon que n soit pair ou impair.

Et ces résultats ne me satisfont pas.

Pourquoi cela ne te satisfait pas ?

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Re: Division euclidienne de polynômes

Messagepar paspythagore » Lundi 23 Février 2009, 08:51

J'aurai aimé une solution sans n et quel que soit n (pair ou impair).
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Re: Division euclidienne de polynômes

Messagepar OG » Lundi 23 Février 2009, 13:05

paspythagore a écrit:J'aurai aimé une solution sans n et quel que soit n (pair ou impair).

Justement il y a des problèmes où nécessairement cela dépend de $n$.
Donc tu peux tout nous écrire ici vu que tu as l'air bien parti.
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Re: Division euclidienne de polynômes

Messagepar paspythagore » Lundi 23 Février 2009, 13:44

Si n est pair $P(-1) \ = \ (-1)^n \ = \ 1 \ = \ R(-1) $ et $P(2)= \ 2^n \ = \ R(2)$

$a(-1) \ + \ b \ = 1 \ et \ a(2) \ + \ b \ = \ 2^n$

$-a \ + \ b \ = \ 1 \ et \ 2a \ + \ b \ = \ 2^n$

...

Ce qui donne, sauf erreur(s), pour n pair $R_n(X) \ = \ ( \dfrac{1 \ - \ 2^n}{3})X \ + \ 2 \ - \ 2^n$

et $R_n(X) \ = \ (\dfrac{1 \ + \ 2^n}{3})X \ - \ 2 \ - \ 2^n$ pour n impair.
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Re: Division euclidienne de polynômes

Messagepar balf » Lundi 23 Février 2009, 14:15

La formule close, indépendante de la parité de n, marche, il me semble :
$R_n(X)=\dfrac{1-(-1)^n2^n}{3}X+(-1)^n\cdot 2-2^n.$

B.A.
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Re: Division euclidienne de polynômes

Messagepar paspythagore » Lundi 23 Février 2009, 14:19

Ah oui, merci, c'est effectivement mieux.
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