Divergence de cette série ?

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Divergence de cette série ?

Messagepar othiprof » Vendredi 22 Mars 2019, 18:57

Bonjour,
quelqu'un pourrait-il me confirmer que la série de terme général $\displaystyle \frac{\exp(M \sqrt{\ln (n)})}{n}$$M$ est un réel strictement positif est divergente et surtout, ce quelqu'un pourrait-il me le justifier ? Parce que je ne trouve pas...
Merci beaucoup.
(et d'ailleurs, merci d'avoir toujours répondu à mes questions, je reprenais les maths, et maintenant je suis admissible à l'agrég interne :) merci!)
OL
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Re: divergence de cette série ?

Messagepar balf » Vendredi 22 Mars 2019, 19:54

Bonsoir,

Il suffit de remarquer que pour tout $x>0$, $\:\mathrm e^x >x$, donc

$$ \frac{\exp(M\sqrt{ \log n}\,)}{n}>M\frac{\sqrt{\log n}}{n} $$

et cette dernière fraction est le terme général d'une série de Bertrand divergente.

B. A.
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Re: divergence de cette série ?

Messagepar othiprof » Vendredi 22 Mars 2019, 23:05

Aaaah, merci beaucoup!
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Re: Divergence de cette série ?

Messagepar motomath » Mercredi 03 Avril 2019, 13:55

On peut également minorer par 1/n puisque le numérateur tend vers l'infini
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