Distance d'un point à un plan

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Distance d'un point à un plan

Messagepar Poincaré » Mardi 02 Mars 2010, 17:29

Bonjour,
dans un exercice d'algèbre linéaire nous avons prouvé la formule Image (G pour déterminant de Gram). Il faut alors retrouver la formule Image. Vous pouvez m'aider ? Merci beaucoup.
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Re: Distance d'un point à un plan

Messagepar Mikelenain » Mardi 02 Mars 2010, 17:31

que représente a, b, c et d ?
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Re: Distance d'un point à un plan

Messagepar Tonn83 » Mardi 02 Mars 2010, 20:13

J'imagine que la question est de déterminer la distance d'un point P de $\R^3$ à l'hyperplan d'équation $ax+by+cz+d=0$. Est-ce cela ? Nous n'avons pas l'énoncé sous les yeux. Pense à bien expliquer ce qu'on te demande. Déjà, sais-tu établir cette distance sans utiliser la question précédente ? Comment fais-tu ? Que représente géométriquement le vecteur de coordonnées $(a,b,c)$ ? Est-il étrange de trouver $\sqrt{a^2+^2+c^2}$ dans la question ?
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Re: Distance d'un point à un plan

Messagepar oleanet » Mardi 02 Mars 2010, 20:58

Vous devez vérifier ceci:
Si $(u;v)$ est une base du plan vectoriel alors $G(u,v)=\|u\wedge v\|^2$
et
$G(x,u,v)=[x,u,v]^2$ (produit mixte au carré) c'est à dire encore: $G(x,u,v)=\left( x\cdot (u\wedge v)\right)^2$.
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Re: Distance d'un point à un plan

Messagepar Poincaré » Mercredi 03 Mars 2010, 13:12

Bonjour, j'ai repris les notations de Wikipédia : http://fr.wikipedia.org/wiki/Distance_d%27un_point_%C3%A0_un_plan

Je cite : "Soit le plan P et le point A dans l'espace. On appelle (xA,yA,zA) les coordonnées du point A et ax + by + cz + d = 0 l'équation représentative du plan P : alors la distance du point A au plan P, dA,P vaut :"

Image

Comment démontre-t-on que G(u,v) est égale au carré scalaire du produit vectoriel ? Merci.
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Re: Distance d'un point à un plan

Messagepar Arnaud » Mercredi 03 Mars 2010, 14:23

Poincaré a écrit:Comment démontre-t-on que G(u,v) est égale au carré scalaire du produit vectoriel ? Merci.


Faut aussi chercher un peu soi-même, on ne va pas fournir la réponse clé en main.
Ecris la définition de $G(u,v)$ ( déterminant 2 x 2 ), calcul et regarde ce que ça donne.
Arnaud

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