Différentielles et notations

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Différentielles et notations

Messagepar paspythagore » Mardi 20 Décembre 2011, 18:32

Bonjour,

je n'ai toujours pas compris l'autre exercice, j'ai des questions sur les notations.

Il s'agit de calculer la différentielle de $B\circ l$ avec $l : X\rightarrow (X^t, X)$ et $B : (X,Y)\rightarrow YX$
$X$ et $Y$ sont des matrices carrées réelles, d'ordre $n$.

$dB(l(X))(dl(X)(H))=dB(X^t,X)(l(H))$ (1)

$=dB(X^t,X)(H^t,H)$ (2)

$=B(X^t,H)+B(H^t,X)$ (3)

$=X^tH+H^tX$ (4)

Dans (1), je ne comprends pas $(dl(X)(H))=l(H)$,
ni dans le (3), pourquoi $dB(X^t,X)(H^t,H)=B(X^t,H)+B(H^t,X)$

Dés qu'il y a une notation comme $dl(X)(H)$, je ne sais plus à quoi c'est égal.

Merci de votre aide.
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Re: différentielles et notations

Messagepar Cruptos » Mercredi 21 Décembre 2011, 08:47

Bonjour,

il y a au moins trois points à prendre en compte:

1) calcul de la différentielle en un point d'une composée de fonctions différentiables.
On cherche $d(B \circ l)(X)$ qui est donc une application linéaire de $M_n$ dans $M_n$ ($M_n$ : ensemble des matrices carrées d'ordre $n$). La formule classique donne : $d(B \circ l)(X)= dB(l(X))\circ dl(X)$

2) le calcul de dl(X).
$l$ est une application de $M_n$ dans $M_n\times M_n$ et cette application est linéaire (la première composante fait correspondre à X sa transposée et la deuxième composante est l'identité). Puisque $l$ est linéaire, quel que soit le point $X$, la différentielle de $l$ en $X$ est l'application $l$ elle-même. C'est un point fondamental : la différentielle en un point d'une application linéaire est cette même application linéaire. En conclusion $dl(X)=l$.

3) le calcul de $dB(l(X))$. $B$ est une fonction de $M_n\times M_n$ dans $M_n$.
Pour détailler commençons par calculer $dB(U_0,V_0)$ ou autrement dit $d(YX) (U_0,V_0)$$(U_0,V_0)$ est un point fixé dans $M_n\times M_n$. Je ne détaille pas ici la formule donnant la différentielle d'un produit (ici de matrices carrées), mais c'est un point qu'il faut regarder de près : $d(YX)(U_0,V_0)=dY.U_0 + V_0dX $. Il faut comprendre cette notation :
$dY.U_0$ est l'application linéaire de $M_n\times M_n$ dans $M_n$ qui au couple $(U,V)$ fait correspondre $V.U_0$; de même $V_0dX$ est l'application linéaire de $M_n\times M_n$ dans $M_n$ qui au couple $(U,V)$ fait correspondre $V_0 U$.

Regroupons les résultats.
Pour cela appliquons la différencielle au point $X$ de $B \circ l$ à un point $H$:
$d(B\circ l)(X) (H)= dB(l(X))(dl(X)(H))$ (application de la composition 1).
Puis application de 2):
$d(B\circ l)(X) (H)= dB(l(X))(l(H))=dB(X^t,X) (H^t,H)$
Puis application de 3) avec $(X^t,X)=(U_0,V_0)$ et $(U,V)=(H^t,H)$ :
$d(B\circ l)(X) (H)= H X^t + X H^t$.

Attention ce résultat n'est pas celui indiqué ligne (4), il y a un bug dans ton passage de (3) à (4): B(X,Y)=YX et pas XY.

En fait il y a deux notations à comprendre : $df(x)$ la différentielle d'une fonction en un point $x$.
C'est aussi une fonction, c'est une fonction linéaire. Cette fonction on peut l'appliquer à un point $h$.
On obtient alors la notation $df(x)(h)$ valeur de la fonction $df(x)$ au point $h$. Si $f$ est déjà une fonction linéaire
alors pour tout point $x$ la fonction linéaire $df(x)$ est $f$.
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Re: différentielles et notations

Messagepar paspythagore » Mercredi 21 Décembre 2011, 14:47

Merci de ton aide.
Première réponse sur les erreurs.
Le corrigé ci-joint donne bien :
$dB(l(X))(dl(X)(H))=dB(X^t,X)(l(H))$ (1)

$=dB(X^t,X)(H^t,H)$ (2)

$=B(X^t,H)+B(H^t,X)$ (3)

$=X^tH+H^tX$ (4)

Vu la définition de $B$, il faut ligne (4) : $=HX^t+XH^t$

Puisque $l$ est linéaire, quel que soit le point $X$, la différentielle de $l$ en $X$ est l'application $l$ elle-même.

Est que je peux me représenter ça en disant que la tangente à une droite (dans $\R^2$) est une droite même si c'est ridicule.

$dl(X)=l$

Toujours du mal avec les notations : $l$, j'aurai écrit $l(X)$
Ca veut dire que la différentielle de $l(X)=X+A$, c'est toujours $l$ et que pour $f(X)=X^2$ c'est autre chose.

un point fixé dans $M_n\times M_n$,
c'est encore une matrice ?

$d(YX)(U_0,V_0)=dY.U_0 + V_0dX $. Il faut comprendre cette notation

S'agissant de matrices, on ne peut pas dire : $dY.U_0 + V_0dX=U_0.dY. + V_0dX$.
Pour la démonstration du produit de la différentielle, je vais voir si je trouve quelque chose.

Puis application de 3) avec $(X^t,X)=(U_0,V_0)$ et $(U,V)=(H^t,H)$ :
$d(B\circ l)(X) (H)= H X^t + X H^t$.

Je me suis un peu égaré.
$d(YX)(U_0,V_0)=dY.U_0 + V_0dX $
$dY.U_0 + V_0dX =dX.X^t + XdH^t$
Comme on a à faire à des applications linéaires, alors :
$dX.X^t + XdH^t=H.X^t + X.H^t$ ?

En tous cas merci pour tout, c'est le genre de chose évidente qui manquent cruellement à un étudiant à distance, seul avec des poly, parfois incomplets.
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Re: différentielles et notations

Messagepar Cruptos » Mercredi 21 Décembre 2011, 17:14

paspythagore a écrit:Vu la définition de $B$, il faut ligne (4) : $=HX^t+XH^t$

Oui, c'est exact.

paspythagore a écrit:
Puisque $l$ est linéaire, quel que soit le point $X$, la différentielle de $l$ en $X$ est l'application $l$ elle-même.

Est que je peux me représenter ça en disant que la tangente à une droite (dans $\R^2$) est une droite même si c'est ridicule.

C'est tout à fait ça, ce n'est pas ridicule. La différentielle en un point appelée encore application linéaire tangente approche en un certain sens la fonction dans un voisinage du point considéré: $f(x)-f(a)=df(a) (x-a) + o(||x-a||)$. Si $f$ est linéaire son approximation $df(a)$ est elle-même.

paspythagore a écrit:
$dl(X)=l$

Toujours du mal avec les notations : $l$, j'aurai écrit $l(X)$
Ca veut dire que la différentielle de $l(X)=X+A$, c'est toujours $l$ et que pour $f(X)=X^2$ c'est autre chose.

Il faut toujours se demander à quel ensemble appartiennent les objets qu'on utilise, sinon on risque d'écrire des choses incohérentes. Ici $l$ est une application de $M_n$ dans $M_n \times M_n$. C'est en plus une application linéaire, donc
$l \in L(M_n,M_n\times M_n)$. La différentielle au point $X$, $dl(X)$ est aussi une application linéaire du même espace
$dl(X) \in L(M_n,M_n\times M_n)$. En revanche $l(X)$ est un élément de $M_n \times M_n$. Ne serait ce que pour des raisons de cohérences on voit bien que $dl(X)$ et $l(X)$ ne peuvent pas être égaux : ils ne sont pas du même type.
Attention dans l'exemple $l(X)=X+A$, $l$ n'est pas linéaire mais affine. La différentielle de $l$ est la partie purement linéaire de $l$ (c'est-à-dire l'application qui à $X$ fait correspondre $X$).

paspythagore a écrit:
un point fixé dans $M_n\times M_n$,

c'est encore une matrice ?

Non, c'est un couple de matrices (élément de $M_n\times M_n$).

paspythagore a écrit:
$d(YX)(U_0,V_0)=dY.U_0 + V_0dX $. Il faut comprendre cette notation

S'agissant de matrices, on ne peut pas dire : $dY.U_0 + V_0dX=U_0.dY. + V_0dX$.
Pour la démonstration du produit de la différentielle, je vais voir si je trouve quelque chose.

Ici en effet ce n'est pas commutatif. Pour la démonstration, penser à revenir à la définition première en calculant
$(Y_0+V)(X_0+U)-Y_0X_0$. (pour comprendre penser que $B$ est une fonction de $Z$$Z=(X,Y)$ est un couple de matrices ; on a $B(Z)=YX)$. On calcule $B(Z_0+H)-B(Z_0)$$H=(U,V)$ représente un accroisssement. )

La difficulté de toutes ces notations c'est qu'on mélange (et on peut difficilement faire autrement sans alourdir les rédactions) des notations. Par exemple on parle souvent d'une fonction $f(x)$ alors qu'il s'agit de la fonction $f$ qui à $x$ associe la valeur $f(x)$. Mais comment faire pour la "fonction" $x^2$ par exemple. Si on doit donner un nom autre à la fonction qui à $x$ associe $x^2$ etc. on ne s'en sort plus. Donc on écrit "la fonction $x^2$". Et à partir de là la notion de différentielle devient obscure, d'autant qu'on doit tenir compte aussi de notations très anciennes qu'on ne peut supprimer comme $dx$, $dy$ etc. qu'on emploie dans divers contextes avec des significations différentes! Il faut s'y faire et apprendre à interprèter dans le bon sens les notations plus ou moins abusives.
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Re: différentielles et notations

Messagepar paspythagore » Mercredi 21 Décembre 2011, 17:28

Merci beaucoup pour ce cours, Cruptos, je vais tâcher de l'assimiler.
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Re: différentielles et notations

Messagepar paspythagore » Mercredi 21 Décembre 2011, 17:57

Pour la démonstration, penser à revenir à la définition première en calculant
$(Y_0+V)(X_0+U)-Y_0X_0$.

$dB(X_0,Y_0)=B(X_0+U,Y_0+V)-B(X_0,Y_0)$
$=(Y_0+V)(X_0+U)-Y_0X_0$
En utilisant la distributivité d'un produit de matrice par rapport à l'addition, on obtient :
$Y_0X_0+Y_0U+VX_0+VU-Y_0X_0$
$VU$ tend vers la matrice nulle, donc :
$dB(X_0,Y_0)=Y_0U+VX_0$
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Re: différentielles et notations

Messagepar Cruptos » Mercredi 21 Décembre 2011, 20:30

Bonsoir,

à part des petits détail c'est ça. Par exemple il ne suffit pas
de dire que $VU$ tend vers la matrice nulle, mais que ça tend plus vite vers la matrice nulle en un sens à préciser
que $(U,V)$ tend vers le couple de matrices nulles (voir la suite).

$B(X_0+U,Y_0+V)-B(X_0,Y_0)=Y_0U+VX_0 +VU$.
Il faut voir que $||VU||_{M_n} =o(||(U,V)||_{M_n^2}$.
Encore faut il définir la norme d'une matrice et la norme d'un couple de matrices.
Je prendrais pour norme d'une matrice la norme de l'application linéaire associée
$||A||_{M_n}=sup_{||u||_n=1} ||Au||_{M_n}$ puis pour norme d'un couple de matrices la norme
$||(A,B)||_{M_n^2}=\max{(||A||_{M_n},||B||_{M_n})}$. (De toutes façons sur les espaces de dimension finie
toutes les normes sont équivalentes).
On a alors $||VU||_{M_n} \leq ||U||_{M_n} ||V||_{M_n} \leq ||(U,V)||_{M_n^2}^2 =o(||(U,V)||_{M_n^2})$.
La différentielle en $(X_0,Y_0)$ est l'application linéaire
$(U,V) \rightarrow Y_0U+ VX_0$
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