Différentielle d'une application de Gauss

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Différentielle d'une application de Gauss

Messagepar Clog » Dimanche 12 Mai 2013, 14:37

Bonjour,

J'ai un souci en géométrie différentielle...
On se place dans la surface $S =\{ p\in\mathbb{R}^3\ /\ <Bp,p> + 2<b,p> +c = 0 \}$ avec $B$ une matrice symétrique 3$\times$3, $b\in\mathbb{R}^3$, et $c\in\mathbb{R}$ fixés.
On me donne l'application $N(p) = \ds\frac{Bp+b}{|Bp+b|}$ qui va de $S$ dans $\mathbb{R}$.

On me demande d'abord de montrer qu'il s'agit d'une application de Gauss : ça, c'est ok.
Et ensuite, il faut en déduire une seconde forme fondamentale de la surface $S$ de l'énoncé. Problème : il me faut pour ça réussir à calculer, pour tout $p\in S$, $d_p N$ (qui est définie, si je ne me trompe, sur $T_p S$, espace tangent à $S$ au point $p$). Et c'est là que je bloque, j'arrive pas à trouver cette différentielle... J'ai essayé de me servir des hypothèses (la définition des points qui sont dans $S$, la forme de $N$ bien sûr, j'ai aussi essayé de prendre un $v$ dans $T_p S$, et de dire qu'on pouvait donc prendre une courbe $\alpha : ] -\epsilon, \epsilon [ \rightarrow S$ telle que $\alpha(0)=p$ et $\alpha'(0) = v$, et d'en déduire $d_p N.v$, rien n'y fait, même si mon petit doigt me dit que c'est par là qu'il faut passer...)

Un petit coup de pouce serait donc le bienvenu. Merci d'avance !
Clog
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Re: Différentielle d'une application de Gauss

Messagepar Greg16 » Jeudi 06 Juin 2013, 19:11

Il me semble que la seconde forme fondamentale en $p$ est donnée par $II(h,v)=\frac{1}{\|Bp+b\|}\langle Bh\vert w \rangle$.
Greg16
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Re: Différentielle d'une application de Gauss

Messagepar Greg16 » Samedi 08 Juin 2013, 21:39

Rectificatif. On a

$$\forall p\in S\quad \forall v\in T_p S\quad \forall w\in T_p S \quad II(v,w)=-\frac{\langle Bv\vert w\rangle}{\|Bp+b\|}. $$


Pour l'obtenir, on considère une courbe $\gamma:]-\varepsilon,\varepsilon[\to S$ de classe $C^1$ et on calcule en dérivant comme un quotient

$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} N(\gamma(t)). $$


On obtient ensuite la seconde forme fondamentale par

$$ II(v,v)=-\langle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}_{t=0} N(\gamma(t))\vert \gamma'(0) \rangle$$


avec $v=\gamma'(0)$. On conclut ensuite par polarisation.
Greg16
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