Différentiabilité et valeur absolue

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Différentiabilité et valeur absolue

Messagepar paspythagore » Samedi 25 Janvier 2014, 23:02

Bonjour.
Je ne me suis pas sorti de cet exercice.
On considère l'application $f$ définie par :

$$f\left\{\begin{array}{ccccc}\R^2\to\R\\(x_1,x_2)\mapsto|x_1|+|x_2|\end{array}\right.$$



L'application $f$ est elle différentiable en $(0,0)$ ? En $(1,1)$ ? En $(1,0)$ ?
L'application $f^2$ est elle différentiable en $(0,0)$ ? En $(1,1)$ ? En $(1,0)$ ?

Alors la fonction valeur absolue n'est pas dérivable en $0$.

Pourtant $|x_1+h_1|-|x_1|+|x_2+h_2|-|x_2|=|h_1|+|h_2|$ qui me paraît linéaire continue en tout point.

Quant à $f^2$...
Si $f^2=f\circ f$, je ne pense même pas qu'elle soit définie.
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Re: differentiabilité et valeur absolue

Messagepar Minibob59 » Dimanche 26 Janvier 2014, 10:59

L'application $g:(h_1, h_2) \mapsto \vert h_1 \vert + \vert h_2 \vert$ n'est pas linéaire... Par exemple $g(-1,-1) = 2$ mais si $g$ était linéaire, on aurait $g(-1,-1) = (-1) g(1,1) = -2$.

L'application $f^2$ est ici définie par $f^2(x_1, x_2) = \left( \vert x_1 \vert + \vert x_2 \vert \right)^2$.

$f$ n'est pas différentiable en $(0,0)$ certes, mais je pense qu'elle l'est en $(1,1)$. A démontrer...
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Re: differentiabilité et valeur absolue

Messagepar balf » Dimanche 26 Janvier 2014, 11:20

Elle est différentiable en dehors des axes de coordonnées.

B.A.
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Re: differentiabilité et valeur absolue

Messagepar paspythagore » Lundi 03 Février 2014, 23:01

Bonsoir.
Je comprends le contre-exemple de Minibob, mais comment montrer que $g:(h_1, h_2) \mapsto \vert h_1 \vert + \vert h_2 \vert$ est linéaire si $x_1\neq0$ et $x_2\neq0$ ?
Connaissant la dérivabilité de $|x|$, intuitivement je comprends l’affirmation de balf.

Mais que faire pour montrer que $f$ et $f^2$ sont différentiable ailleurs.

Pour $Df^2(x_1,x_2)=(|x_1+h_1|+|x_2+h-2|)^2-(|x_1|+|x_2)^2$

$=|x_1+h_1|^2-|x_1|^2+|x_2+h_2|^2-|x_2|^2+2|x_1+h_1|\cdot|x_2+h_2|-2|x_1|\cdot|x_2|$

$=|x_2h_1|+|x_1h_2|+o(\text{qqchose})$
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Re: Différentiabilité et valeur absolue

Messagepar balf » Mardi 04 Février 2014, 01:16

La différentiabilité en dehors des axes de coordonnées vient de ce que, en dehors des axes de coordonnées, la fonction f est de la forme x₁ + x₂ ou x₁ – x₂ ou –x₁ + x₂ ou –x₁ – x₂, bref est localement une fonction linéaire. Et la fonction f² est, localement, une fonction du second degré. Ceci montre d'ailleurs en fait que f et f² sont C$^{\infty}$ en dehors des axes de coordonnées.

B.A.
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Re: Différentiabilité et valeur absolue

Messagepar paspythagore » Mercredi 05 Février 2014, 20:46

OK merci.
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Re: Différentiabilité et valeur absolue

Messagepar paspythagore » Jeudi 24 Avril 2014, 20:50

Bonjour.
$f^2$ est différentiable en $(0,0)$.

$f^2(x_1+h),x_2+k)-f^2(x_1,x_2)=\Big(|x_1+h|+|x_2+k|\Big)^2-\Big(|x_1|+|x_2|\Big)^2$.
Ce qui donne en $(0,0)$, $|h|^2+|k|^2+2|h|\cdot|k|$

Et donc $Df^2(x_1,x_2)(0,0) =0$

Est ce bien comme cela qu'il faut rédiger ?
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Re: Différentiabilité et valeur absolue

Messagepar paspythagore » Jeudi 29 Mai 2014, 17:13

Bonjour.
Je retombe par hasard sur cet exercice.
Comment montrer que la différentielle de $f^2$ en $(0,1)$ par exemple n'existe pas.
Peut on essayer de faire $f^2(x_1+h),x_2+k)-f^2(x_1,x_2)=\Big(|x_1+h|+|x_2+k|\Big)^2-\Big(|x_1|+|x_2|\Big)^2$

$=|x_1+h|^2+|x_2+k|^2+2|x_1+h|\cdot|x_2+k|-|x_1|^2-|x_2|^2-2|x_1|\cdot|x_2|$

$=|x_1|^2+|h|^2+2x_1h+2|x_1+h|+|x_2|^2+|k|^2+2x_2k+2|x_2+k|-|x_1|^2-|x_2|^2-2|x_1|\cdot|x_2|$

$=|h|^2+2x_1h+2|x_1+h|+|k|^2+2x_2k+2|x_2+k|-2|x_1|\cdot|x_2|$
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