différentiabilité et dérivabilité

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différentiabilité et dérivabilité

Messagepar paspythagore » Dimanche 10 Novembre 2013, 12:07

Bonjour.
Une petite question, que veut dire $x=x\dot1$ ou $df_{x_0}(1)$ dans la démonstration suivante :
Soient $F$ un espace vectoriel normé, $f:\R\to F$ une application et $x_0\in\R$. Alors, $f$ dérivable en $x_0$ est équivalent à $f$ différentiable en $x_0$ et, pour tout $x \in\R, d_{x_0}f(x)=x\cdot f'(x_0)$. En particulier, $f'(x_0)=d_{x_0}f(1)$.

PREUVE : en reprenant la définition de la différentiabilité en $x_0$, on a $\forall\varepsilon>0,\exists\alpha>0$ tel que $\Vert x\Vert_\R=|x|<\alpha$ entraine :

$$\Vert f(x_0+x)-f(x_0)-df_{x_0}(x)\Vert_F\leqslant\varepsilon|x|,$$


ce qui revient à (en considérant que, dans $\R, x=x\cdot1$),

$$\Vert f(x_0+x)-f(x_0)-df_{x_0}(1)\Vert_F\leqslant\varepsilon|x|,$$


et donc :

$$\ds\lim_{x\to0}\Vert\dfrac{f(x_0+x)-f(x_0)}{x}-df_{x_0}(1)\Vert_F=0.$$


On a bien $d_{x_0}f(1)=f'(x_0)$.
paspythagore
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Re: différentiabilité et dérivabilité

Messagepar balf » Dimanche 10 Novembre 2013, 13:07

paspythagore a écrit:
ce qui revient à (en considérant que, dans $\R, x=x\cdot1$),

$$\Vert f(x_0+x)-f(x_0)-df_{x_0}(1)\Vert_F\leqslant\varepsilon|x|,$$


À mon avis, il y a une coquille : il faudrait écrire

$$\Vert f(x_0+x)-f(x_0)-xdf_{x_0}(1)\Vert_F\leqslant\varepsilon|x|,$$

ce qui revient à dire qu'on applique le fait que la différentielle en un point est une application linéaire de R dans E.

B.A.
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Re: différentiabilité et dérivabilité

Messagepar Tonn83 » Dimanche 10 Novembre 2013, 13:15

paspythagore a écrit:Bonjour.
Une petite question, que veut dire $x=x\cdot 1$ ou $df_{x_0}(1)$ dans la démonstration suivante :

$x$ et $1$ sont des nombres réels. Mais $^\R$ peut être vu comme un $\R$-espace vectoriel. $1$ est alors un vecteur de $\R$ et $x$ un scalaire. $x\cdot 1$, c'est la multiplication extérieure du vecteur $1$ par le scalaire $x$. :wink:
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Re: différentiabilité et dérivabilité

Messagepar paspythagore » Dimanche 10 Novembre 2013, 22:54

Merci.
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