difféomorphisme local ou global

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difféomorphisme local ou global

Messagepar paspythagore » Samedi 26 Avril 2014, 15:31

Bonjour.
Je ne suis pas sûr d'avoir compris la différence :
Un difféomorphisme est une bijection différentiable dont la réciproque est aussi différentiable.
Le difféomorphisme local c'est la même chose mais au voisinage d'un point et non pas sur l'espace tout entier ?
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Re: difféomorphisme local ou global

Messagepar balf » Samedi 26 Avril 2014, 18:47

C'est à peu près ça. De façon précise, si X et Y sont des variétés différentiables, f : X $\longrightarrow$ Y est un difféomorphisme local si pour tout x ∈ X, il existe un voisinage ouvert U de x tel que (i) f(U) soit un ouvert de Y et (ii) la restriction de f à U soit un difféomorphisme de U sur f(U). Cela revient à dire que la différentielle en x est un isomorphisme bicontinu de l'espace vectoriel tangent à X en x sur l'espace tangent à Y en f(x).

En fait, un difféomorphisme est un difféomorphisme local qui est globalement une bijection. Un exemple simple de difféomorphisme local qui n'est pas un difféomorphisme global est l'enroulement de la droite réelle sur le cercle trigonométrique :
$ \mathsf{x \longmapsto e^{\,i\,x}}$.

B.A.
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Re: difféomorphisme local ou global

Messagepar paspythagore » Dimanche 27 Avril 2014, 12:31

OK merci.
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Re: difféomorphisme local ou global

Messagepar paspythagore » Dimanche 04 Mai 2014, 13:17

Bonjour, j'ai un exemple pour illustrer ces notions.
Soit $ f:\R\times}-1,1[\to\R\times}-1,1[, (x,y)\mapsto (x-y\sin x,y)$.
Montrer que $f$ est un $C^1$-difféomorphisme.

Le résumé de la correction donne :
La fonction $f$ est de classe $C^1$ car chacune de ses composantes l'est.

$f$ est injective.

Le Jacobien de $f$ est non nul sur l’ensemble de définition.

On en déduit que $f$ est un $C^1$-difféomorphisme local et, comme $f$ est injective, alors $f$ est $C^1$-difféomorphisme global de $\R\times}-1,1[\to\R\times}-1,1[$.

Je croyais l'exo fini et $C^1$-difféomorphisme local $+$ $f$ est injective $=$ $C^1$-difféomorphisme global, mais non, ça repart...

Il reste à prouver la surjectivité de $f$, i.e. $f(\R\times}-1,1[)=\R\times}-1,1[$...


Du coup je ne sais plus, je pensais $C^1-$difféomorphisme local $=$ jacobien non nul (inversible) et $C^1-$difféomorphisme global, ce que j'ai dit plus haut mais non, ça n'a pas l'air d'être exact.
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Re: difféomorphisme local ou global

Messagepar balf » Dimanche 04 Mai 2014, 15:35

Non : difféomorphisme global = difféomorphisme local + bijectif. Toutefois la surjectivité ne fait pas problème.

B.A.
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Re: difféomorphisme local ou global

Messagepar paspythagore » Dimanche 04 Mai 2014, 16:16

Merci.
La surjectivité ne fait pas problème, j'ai une démonstration qui me parait compliquée dans ma correction.
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Re: difféomorphisme local ou global

Messagepar balf » Dimanche 04 Mai 2014, 18:42

:roll: ??? Il suffit de savoir que la fonction (de x) : x – y sin x, est, quel que soit y ∈ ]–1, 1[, une bijection de [2kπ, 2(k + 1)π] sur lui-même.

B.A.
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Re: difféomorphisme local ou global

Messagepar paspythagore » Dimanche 04 Mai 2014, 18:52

Oui merci.
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