Développements limités

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

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Développements limités

Messagepar Eruel » Dimanche 31 Mai 2009, 13:21

Bonjour,

Je suis tombé sur un exercice où on me demande d'étudier quelques propriétés de la fonction $f(x) = \dfrac{\sin^{2}x}{\ln(\cos x)}$. J'ai la trame générale où je calcule successivement les d.l. à l'ordre 6 au voisinage de 0 des fonctions $\sin x$ et $\ln(1+x)$ mais là où je bloque c'est pour calculer le développement limité de $\ln(\cos x)$. Si quelqu'un peut m'aider je lui en serai très reconnaissant merci.
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Re: Développements limités

Messagepar François D. » Dimanche 31 Mai 2009, 13:25

À quoi ressemble un D.L. de $\cos x$ ? Quitte à poser $u(x)=\ldots$ (à compléter soi-même ;) ), il a une allure en principe adaptée à celui du logarithme ...
François D.
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Re: Développements limités

Messagepar Valvino » Dimanche 31 Mai 2009, 13:44

Tu fais le DL de $\cos(x)$ en zéro tu auras un truc du genre $\cos x=1+P(x)+o(x^n)$ et tu connais le DL de $\log(1+u)$ donc tu devrais t'en tirer.
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Re: Développements limités

Messagepar Eruel » Dimanche 31 Mai 2009, 23:15

Je suis vraiment un aveugle ! Je n'avais pas vu la ressemblance entre les deux formes je posais bêtement $u = \cos x$ je trouvais ca louche car dans ce cas je calculais $\ln(1+\cos x)$ et non $\ln(\cos x)$.
Donc pour récapituler :
J'ai $\cos x = 1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{3!}-\dfrac{x^6}{6!}$

et $\ln(1+u) = u - \dfrac{u^2}{2} + \dfrac{u^3}{3} - \dfrac{u^4}{4} + \dfrac{u^5}{5} - \dfrac{u^6}{6}$

Je pose $u = - \dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{3!}-\dfrac{x^6}{6!}$

J'obtiens $\dfrac{u^2}{2} = \dfrac{x^4}{8} - \dfrac{x^6}{48}$ et $\dfrac{u^3}{3} = - \dfrac{x^6}{24}$

Les calculs de $\dfrac{u^4}{4}$, $\dfrac{u^5}{5}$ et $\dfrac{u^6}{6}$ ont un degré supérieur à 6 donc on ne les prends pas en compte.

En faisant attention de changer les signes je me retrouve avec :
$\ln(1+u) = \ln(\cos x) = - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24} - \dfrac{x^6}{720} - \dfrac{x^4}{8} + \dfrac{x^6}{48} - \dfrac{x^6}{24}$

Après simplification j'ai $\ln(\cos x) = - \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^4}{12} - \dfrac{x^6}{45}$

Merci à François et Valvino pour leur aide.

EDIT: autant pour moi kojak j'ai restauré la tradition des factorielles je laisse de coté le $x^6 \varepsilon (x)$ car ce n'était pas mon problème majeur :wink:
Dernière édition par Eruel le Lundi 01 Juin 2009, 13:11, édité 2 fois.
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Re: Développements limités

Messagepar François D. » Lundi 01 Juin 2009, 10:08

Maxima (logiciel de calcul formel) trouve pareil ;) ...
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Re: Développements limités

Messagepar kojak » Lundi 01 Juin 2009, 12:49

bonjour,

Sans oublier le $x^6\varepsilon(x)$ :wink:

Et la tradition veut qu'on note $6!$ et non $!6$.
pas d'aide par MP
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