Développements limités

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

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Développements limités

Messagepar celia » Jeudi 06 Avril 2006, 19:59

Bonjour, je commence le cours sur les DL qu'on a eu sous forme de poly et il y a un exemple que je ne comprends pas:
Pour étudier le comportement asymptotique de $f(x)= \sqrt{x^2+x+1}$. On cherche un DL au voisinage de oo pour x soit au voisinage de 0 pour h=1/x. En utilisant les DL usuels à l'ordre 2 et en revenant à x, on trouve:
f(x)=x+1/2+3/(8x)+o(1/x)
mais je n'arrive pas à trouver ça, voici mes calculs:
$f(h)=1+ \frac{1}{2}( \frac{1}{h^2}+ \frac{1}{h})+ \frac{ \frac{1}{2}( \frac{1}{2}-1)  }{2}( \frac{1}{h^2}+ \frac{1}{h})^2+o( \frac{1}{h^2} + \frac{1}{h})$
$f(h)=1+ \frac{1}{2h^2}+ \frac{1}{2h}  - \frac{1}{8}( \frac{1}{h^4} + \frac{1}{h^2} + \frac{2}{h^3} )+ o( \frac{1}{h^2} + \frac{1}{h})$
Soit f(x)=1+x/2+3x^2/8+o(x^2)
Pourriez-vous me dire où je me trompe?
Merci d'avance
celia
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Messagepar rebouxo » Jeudi 06 Avril 2006, 20:11

Pour le terme en $x^2$ c'est toi qui a raison. Par contre le terme dans le $o$ est faux.
rebouxo
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Messagepar guiguiche » Jeudi 06 Avril 2006, 20:23

Je trouve le résultat donné par ton poly. Je crois que tu confonds les h et les 1/h. Dans tes calculs, tous les 1/h sont des 1/x.
Ton résultat n'est pas très "mathématique" dans le sens où le terme "négligeable" o(x^2) est en fait prédominant sur tous les autres termes : 1, x, x^2.
Revois ton calcul en factorisant par x^2 dans la racine, en transformant les 1/x en h puis en appliquant les formules de DL en 0 et enfin en retransformant les h en 1/x.
guiguiche
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