[MPSI] Développements limités

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

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[MPSI] Développements limités

Messagepar pouik » Jeudi 12 Avril 2007, 20:00

Bonsoir,
Je bloque dès la première question de ce bout de problème... Ca commence mal ! donc si vous pouviez m'aider ce serait genial. Merci d'avance.

On désigne par $(u_n)_{n \in \N^*}$ et $(w_n)_{n \in \N^*}$ les suites de terme général $u_n = \left(\dfrac{n}{e}\right)^n \sqrt{n}$ et $w_n = \ln{n!} - \ln{u_n}$.

1. Soit $\phi_0$ la fonction définie sur $]-1;1[$ par $\phi_0(x) = x - \dfrac{1}{2} \ln{\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)}$.
(a) Déterminer le signe de $\phi_0(x)$ selon la position de $x$ dans $]-1;1[$.
(b) Montrer que pour tout $n \in \N^*$, $w_{n+1} - w_n = (2n+1) \phi_0 \left(\dfrac{1}{2n+1}\right)$.
(c) En déduire que $(w_n)_{n \in \N^*}$ est monotone et préciser sa monotonie.
2. (a) A l'aide d'un développement limité, déterminer un équivalent simple de $\dfrac{\phi_0(x)}{x}$ au voisinage de $0$.
(b) En déduire un équivalent simple de $w_{n+1} - w_n$.


Donc dès la première je n'y arrive pas : j'ai essayé de faire l'étude de la fonction mais ca n'aboutit pas !! Comment faire ??
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Messagepar tigris » Jeudi 12 Avril 2007, 21:02

$\rm{Argth}(x)=\dfrac{1}{2}\ln{\dfrac{1+x}{1-x}}$. Cela ne t'aide-t-il pas ?
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Messagepar davou03 » Vendredi 13 Avril 2007, 01:00

Salut

Que trouves-tu comme dérivée et as-tu calculé $ \phi_0(0) $ ?

Au fait, le sujet s'arrète-t-il là ou est-ce une démo de la formule de Stirling ?
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Messagepar pouik » Vendredi 13 Avril 2007, 07:11

Bonjour,
J'avais remarqué l'égalité avec $argth$ mais je ne pense pas que ca serve pour l'instant. Sinon le sujet ne s'arrete pas là et effectivement c'est une demo du theoreme de Stirling !!

Pour la dérivée je la mets tout à l'heure car là je dois partir...
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Messagepar pouik » Vendredi 13 Avril 2007, 15:16

donc pour la dérivée, je trouve :

$$\phi'_0(x) = 1 + \dfrac{1}{x^2 - 1}$$



soit :

$$\phi'_0(x) = \dfrac{x^2}{x^2 - 1}$$



donc $\phi_0$ est donc strictement décroissante sur $]-1;1[$.

Or :

$$\phi'_0(0) = 0$$



donc on a le signe de $\phi_0$. Non ??
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Messagepar kojak » Vendredi 13 Avril 2007, 16:42

Bonjour Pouik,

Oui, c'est ça... donc tu peux conclure pour le signe de ta fonction.
pas d'aide par MP
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Messagepar pouik » Vendredi 13 Avril 2007, 17:15

okay.
Pour la question (b), dois-je partir de $w_{n+1} - w_n$ ?? ou du résultat ?? ie du membre de droite.
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Messagepar guiguiche » Vendredi 13 Avril 2007, 17:16

Membre de gauche a priori.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
guiguiche
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Messagepar pouik » Vendredi 13 Avril 2007, 17:45

Je trouve mais après je suis bloqué :

$$w_{n+1} - w_n = \ln{(n+1)} - \ln{\left[\dfrac{(n+1)^{n+1} \sqrt{n+1}}{n^n \sqrt{n} e}\right]}$$

Dernière édition par pouik le Vendredi 13 Avril 2007, 18:02, édité 1 fois.
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Messagepar davou03 » Vendredi 13 Avril 2007, 17:49

Le n + 1 est entre parenthèse, je crois.
Essaie d'écrire les racines sous forme de puissances, ça peut aider... puis propriétés du ln...
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Messagepar pouik » Vendredi 13 Avril 2007, 18:04

d'où :

$$w_{n+1} - w_n = \ln{\left[\dfrac{n^{n+\frac{1}{2}}  e}{(n+1)^{n+\frac{1}{2}}}\right]}$$



Non ??
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Messagepar davou03 » Samedi 14 Avril 2007, 00:13

Voilà, puis sort le e et l'exposant, ensuite tu devrais obtenir la même chose en partant de l'autre côté.
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Messagepar pouik » Samedi 14 Avril 2007, 12:36

okay pour la (b).

Pour la (c), le signe de ce truc est un peu compliqué !! Y-at-il une facon de le simplifier ??

Merci d'avance.
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Messagepar kojak » Samedi 14 Avril 2007, 12:40

Ben faut que tu te serves de la 1a) avec $x=\dfrac{1}{2n+1}$ non :roll:
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Messagepar pouik » Samedi 14 Avril 2007, 16:05

donc comme $\dfrac{1}{2n+1} > 0$, on a $(w_n)$ strictement croissante.

Est-ce correct ??
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Messagepar kojak » Samedi 14 Avril 2007, 17:02

Oui, c'est correct....
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Messagepar pouik » Lundi 16 Avril 2007, 08:38

Bonjour,
Pour la 2.(a),
J'ai fais un $DL_3(0)$ et je trouve l'équivalent suivant : $-\dfrac{x^2}{3}$

Est-ce correct ??

Sinon pour la question suivante, je ne vois pas du tout comment procéder !?
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Messagepar kojak » Lundi 16 Avril 2007, 09:39

Oui, c'est bon...
Pour la 2b), c'est l'application de la 2a) avec $x=\dfrac{1}{2n+1}$ non....
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Messagepar pouik » Lundi 16 Avril 2007, 09:42

donc c'est :

$$-\dfrac{1}{3(2n+1)}$$



Non ??
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Messagepar kojak » Lundi 16 Avril 2007, 15:34

Ben j'crois pas : il manque un carré non :roll: et tu peux encore le simplifier...
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