[MPSI] Développements limités

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

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Messagepar pouik » Lundi 16 Avril 2007, 18:11

oui mais quand on utilise la formule :

$$w_{n+1} - w_n = (2n+1) \phi_0 \left(\dfrac{1}{2n+1}\right) $$



le carré part !?

Non ??
pouik
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Messagepar pouik » Lundi 16 Avril 2007, 18:52

oups désolé,
en fait je trouve :

$$-\dfrac{1}{3(2n+1)^2}$$



Est-ce correct ??
pouik
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Messagepar kojak » Lundi 16 Avril 2007, 19:15

J'irais même jusqu'à $-\dfrac{1}{12n^2}$ non
pas d'aide par MP
kojak
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Messagepar pouik » Mardi 17 Avril 2007, 10:39

Bonjour,
Okay pour cette question.

J'ai quelques difficultés pour la suite, qui est la suivante :


On admet le résultat suivant : si une suite réelle $(u_n)$ est telle qu'il existe deux constantes $A \in \R^*$ et $\alpha \in ]1;+\infty[$ telles que $u_{n+1} - u_n \sim \dfrac{A}{n^{\alpha}}$, alors $(u_n)$ est convergente, et si $\ell$ est sa limite, alors on a le résultat plus précis : $u_n - \ell \sim - \dfrac{A}{\alpha - 1} \dfrac{1}{n^{\alpha - 1}}$.

(c) En utilisant le résultat admis, établir la convergenece de $(w_n)_{n \in \N^*}$. On note L sa limite pour toute la suite. En déduire enfin $n! \sim u_n e^L$.
3. Déterminer la valeur de $e^L$ en utilisant la Formule de Wallis, et en déduire la Formule de Stirling :

$$\boxed{n! \sim \sqrt{2n\pi}\left(\dfrac{n}{e}\right)^n}$$



Merci d'avance.
pouik
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Messagepar pouik » Mardi 17 Avril 2007, 10:43

Pour la (c), je propose :

$$w_n - L \sim \dfrac{1}{12n}$$



Le membre de droiteb tend vers $0$, donc $(w_n)$ converge bien vers L !!

Est-ce correct ??

Après je vois pas du tout comment faire !! Merci pour votre aide.
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Messagepar davou03 » Mardi 17 Avril 2007, 17:45

Hé Hé! je savais bien qu'il y avait du Stirling là dessous.

Mais attention, il y a une erreur de logique dans ce que tu dis.
La convergence de la suite est donnée par la propriété (admise). C'est en fait une somme télescopique qui s'avère être une somme de Riemann convergente...
En fait, cette convergence, et donc l'existence de L, doit être préalable à l'écriture $w_n - L  \sim \frac{1}{12n}$. Tu ne peux donc pas déduire la convergence à partir de l'équivalence.
Pour la fin du 2) applique la définition de $w_n$ et pour le 3) rappelle la formule de Wallis...
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Messagepar pouik » Mardi 17 Avril 2007, 18:11

Excuse-moi mais pourrais-tu etre un peu plus precis,
je ne comprends pas très bien :

davou03 a écrit:Hé Hé! je savais bien qu'il y avait du Stirling là dessous.

Mais attention, il y a une erreur de logique dans ce que tu dis.
La convergence de la suite est donnée par la propriété (admise). C'est en fait une somme télescopique qui s'avère être une somme de Riemann convergente...
En fait, cette convergence, et donc l'existence de L, doit être préalable à l'écriture $w_n - L  \sim \frac{1}{12n}$. Tu ne peux donc pas déduire la convergence à partir de l'équivalence.


Merci d'avance.
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Messagepar davou03 » Mardi 17 Avril 2007, 18:36

Ok, je reprends.

Je cite l'énoncé :

On admet le résultat suivant : si une suite réelle $(u_n)$ est telle qu'il existe deux constantes $A  \in \R^*$ et $\alpha  \in ]1 ; +\infty[$ telles que $u_{n+1}-u_n \sim \frac{A}{n^\alpha}$, alors $(u_n)$ est convergente, et si $l$ est sa limite, alors on a le résultat plus précis : $u_n - l \sim -\frac{A}{\alpha - 1} \frac{1}{n^{\alpha - 1}}$.


La convergence de $(w_n)$ est donnée par la propriété. Il n'y a donc pas à la redémontrer après...
De plus la convergnce de $(w_n)$, c'est-à-dire l'existence de $l$, est nécessaire avant de pouvoir écrire $w_n - l \sim \frac{1}{12n}$.

C'est donc simplement un problème d'ordre logique dans lequel il faut énoncer les éléments de la démonstration pour que tout ait un sens...
Dernière édition par davou03 le Mardi 17 Avril 2007, 20:40, édité 2 fois.
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Messagepar pouik » Mardi 17 Avril 2007, 19:25

Okay je comprends mieux,
sinon pour la fin de la 2., je comprends pas comment faire.

ET pour ce qui est de la formule de Wallis, c'est :
$\dfrac{2^{2n}(n!)^2}{(2n)!\sqrt{2n+1}}$ tend vers $\dfrac{\pi}{2}$, du moins à ce que j'ai trouvé !! (Il n'y avait pas le résultat). :D :D
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Messagepar davou03 » Mardi 17 Avril 2007, 20:20

Pour l'équivalence du 2), vu qu'on connaît sa limite, reviens à la définition de $w_n$, un petit coup d'exponentielle devrait arranger les choses.
Pour la formule de Wallis, est-ce que tu n'oublierais pas un racine : $\sqrt{\frac{\pi}{2}}$ ?
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Messagepar davou03 » Mardi 17 Avril 2007, 20:31

par contre je ne vois pas clairement le lien entre cette formule de Wallis et la limite de $(w_n)$...
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Messagepar pouik » Mercredi 18 Avril 2007, 12:06

davou03 a écrit:Pour l'équivalence du 2), vu qu'on connaît sa limite, reviens à la définition de $w_n$, un petit coup d'exponentielle devrait arranger les choses.
Pour la formule de Wallis, est-ce que tu n'oublierais pas un racine : $\sqrt{\frac{\pi}{2}}$ ?


De quoi dois-je partir ?
- du fait que : $w_{n+1} - w_n$ -> $0$ ??

Sinon je suis okay il manquait la racine carrée pour la formule de Wallis.
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Messagepar davou03 » Mercredi 18 Avril 2007, 17:19

Plutôt $w_n \rightarrow L$.
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Messagepar pouik » Samedi 21 Avril 2007, 11:31

Bonjour,
Pour la fin de la 2., je propose :

$$\displaystyle\lim_{n \rightarrow +\infty} \ln{\dfrac{n!}{u_n}} = L$$



donc :

$$\displaystyle\lim_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{n!}{u_n e^L} = 1$$



soit :

$$\boxed{n! \sim u_n e^L}$$



Est-ce correct ??
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Messagepar davou03 » Samedi 21 Avril 2007, 16:15

Rien à redire...
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Messagepar pouik » Dimanche 22 Avril 2007, 08:32

Bonjour,
J'ai buché toute la soirée sur la ., sans résultats,
je ne vois pas comment calculer la limite de $e^L$ !!

Je sais juste qu'avec le résultat à trouver, on doit trouver :

$$e^L = \sqrt{2\pi}$$



Poourriez-vous m'aider ?? Merci d'ava,ce.
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Messagepar davou03 » Dimanche 29 Avril 2007, 00:57

Désolé j'avais pris quelques vacances...

Ce qu tu dis est juste. Quant à la méthode, tu dois démarrer de la formule de Wallis : il faut utiliser l'équivalence portant sur $ n! $ que tu viens de démontrer.
Tu verras, ça se simplifie bien.
Dernière remarque, tu peux avantageusement remplacer $\sqrt{2n+1}$ par $\sqrt{2n}$.
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