[PC] Développements limités

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

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[PC] Développements limités

Messagepar cece » Jeudi 15 Août 2013, 23:52

Bonjour/ Bonsoir

J'ai un soucis avec mon exercice qui consiste à donner un équivalent en $+\infty$ de :

$$u_n=\sin(\pi\sqrt{n^2+1})$$


N'ayant pas encore vue les séries, je ne peux les utiliser.

J'ai essayer de faire le DL de $\sqrt{n^2+1})$ pour l'intégré dans $u_n$ mais sans succès.
Du coup je ne sais pas comment m'y prendre.

Si quelqu'un pourrait m'aider svp.

En attendant une réponse, merci d'avance :)

Cécé.
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Re: [PC] Développements limités

Messagepar rebouxo » Vendredi 16 Août 2013, 09:18

À la louche : $\sqrt(n^2+1) ~ n$ pour $n$ grand, donc, $\sin(\pi\sqrt(n^2+1) \sim 0$.

Ce que confirme un rapide calcul informatique.
Olivier
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Re: [PC] Développements limités

Messagepar balf » Vendredi 16 Août 2013, 09:41

Si je déchiffre bien la réponse (il manque un symbole), l'objection est que $\mathsf{u_n}$ ne peut être équivalente à 0 puisqu'elle n'est pas nulle à partir d'un certain rang.

On fait un d.l. (l'ordre 1 suffit) de la racine en mettant n² en facteur, on en déduit un d.l. de l'argument du sinus. Il suffit alors de remarquer que sin(x + nπ) = (–1)$^{\mathsf{n}}$ sin x.
B.A.
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Re: [PC] Développements limités

Messagepar cece » Vendredi 16 Août 2013, 09:50

effectivement il manque le symbole " ~ "

j'ai essayer d'appliquer Taylor-Young, sans succès, les dérivés deviennent vite atroces, j'ai également essayer d'appliquer le DL d'une composé, mais je ne peux le faire car $\pi\sqrt{n^2+1}$ ne vaut pas 0 en 0.
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Re: [PC] Développements limités

Messagepar balf » Vendredi 16 Août 2013, 10:59

Nul besoin de Taylor -Young ici : un d.l. à l'ordre 1 suffit. Commencez par mettre, comme je l'ai dit, n² en facteur. Vous allez obtenir, non un d.l., mais un développement asymptotique de π$\sqrt{\mathsf{n^{2} + 1}$.

B.A.
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Re: [PC] Développements limités

Messagepar cece » Vendredi 16 Août 2013, 12:49

Merci B.A pour votre aide, mais lorsque je mets n² en facteur, et que je fais tendre n vers $+\infty$, je trouve $un$ --> $0$

$un=sin(\pi\sqrt{n^2(1+(1/n^2)}) = sin(n\pi\sqrt{1+(1/n^2)})$

en $+\infty$ la racine carrée tend vers 1 d'où le sin qui tend vers 0.

Du coup j'obtiens pas d'addition dans le sinus tel que un= sin(X + nπ)

Cece.
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Re: [PC] Développements limités

Messagepar kojak » Vendredi 16 Août 2013, 12:55

bonjour,

$u_n=\sin(\pi\sqrt{n^2(1+(1/n^2)}) = \sin(n\pi\sqrt{1+(1/n^2)})$


Oui mais il faut continuer en faisant u
balf a écrit:un développement asymptotique de π$\sqrt{\mathsf{n^{2} + 1}$.
en utilisant le DL de $\sqrt{1+X}$ avec $X=\dfrac{1}{n^2}$, remplacer dans ton expression, développer, etc.
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Re: [PC] Développements limités

Messagepar cece » Vendredi 16 Août 2013, 13:06

euh d'accord je vais essayer
Merci beaucoup kojak.
par contre juste une petit précision, c'est quoi un développement asymptotique ? je connais seulement les développements limités pour le moment.

Merci encore.
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Re: [PC] Développements limités

Messagepar kojak » Vendredi 16 Août 2013, 13:13

Un développement asymptotique est un DL dans lequel tu peux trouver du $\ln x $, $\dfrac{1}{x^n}$, etc, aussi bien au voisinage de $0$ que de l'infini, ou d'autres points.

Ici, tu vas avoir un DL généralisé au voisinage de $+\infty$ de $\sqrt{1+n^2}$ grâce à l'écriture $n\sqrt{1+\dfrac{1}{n^2}}$ et au DL en $0$ de $\sqrt{1+X}$ avec $X=\dfrac{1}{n^2}$
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Re: [PC] Développements limités

Messagepar kojak » Vendredi 16 Août 2013, 13:15

Bonjour,

rebouxo a écrit:À la louche ... $\sin(\pi\sqrt{n^2+1})\sim 0$.


Ceci est une horreur car cette expression ne vaut pas $0$. En oral de concours, ça fait très mal ceci :wink:
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Re: [PC] Développements limités

Messagepar cece » Vendredi 16 Août 2013, 13:39

kojak a écrit:Un développement asymptotique est un DL dans lequel tu peux trouver du $\ln x $, $\dfrac{1}{x^n}$, etc, aussi bien au voisinage de $0$ que de l'infini, ou d'autres points.

Ici, tu vas avoir un DL généralisé au voisinage de $+\infty$ de $\sqrt{1+n^2}$ grâce à l'écriture $n\sqrt{1+\dfrac{1}{n^2}}$ et au DL en $0$ de $\sqrt{1+X}$ avec $X=\dfrac{1}{n^2}$


ahh !!!!! ok :) Merci beaucoup pour cette précision.
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Re: [PC] Développements limités

Messagepar cece » Vendredi 16 Août 2013, 14:40

Alors j'ai fais les DL prévu , mais il y a encore un truc qui me gêne,

j'obtiens $sin(n\pi(1+1/(2n^2))) = sin(n\pi+\pi/2n)$
J'utilise ce que m'a fais remarqué balf : sin(x + nπ) = (–1)$^{\mathsf{n}}$ sin x.

d'où $sin(n\pi+\pi/2n)=$(–1)^n$*sin(\pi/2n)$
Mais lorsque n tend vers +inf je trouve toujours 0 ...
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Re: [PC] Développements limités

Messagepar balf » Vendredi 16 Août 2013, 14:50

Oui, mais on connaît un équivalent de sin(π/2n) quand n →+$\infty$
Cela dit, personne n'a contesté que la limite fût 0 ; simplement, une suite convergente n'est équivalente à sa limite que si cette limite est non-nulle.
B.A.
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Re: [PC] Développements limités

Messagepar cece » Samedi 17 Août 2013, 10:11

Merci beaucoup balf pour votre aide :)
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Re: [PC] Développements limités

Messagepar kojak » Samedi 17 Août 2013, 13:41

Et tu as obtenu quoi au final comme équivalent ?
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