[L1] Developpement limité

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[L1] Developpement limité

Messagepar Kazik » Jeudi 20 Avril 2006, 22:53

Bonjour,

je n'arrive pas à calculer le développement limité à l'ordre 3 au voisinage de 0 de la fonction suivante :
$f(x)=e^{\sqrt{1+\sin(x)}}-e$

J'ai procédé comme suit :
$\sqrt{1+\sin(x)}=(1+\sin(x))^{1/2}$

J'ai donc utilisé le $DL_3(0)$ de $(1+x)^a=1+ax+\frac{a(a-1)}{2!}x^2+\frac{a(a-1)(a-2)}{3!}x^3+o(x^3)$
et aussi le $DL_3(0)$ de $\sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+o(x^4)$

mais j'ai un calcul affreux seuleument pour ce calcul ... n'est pas une bonne méthode ?
merci.
Kazik
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Messagepar DUET » Vendredi 21 Avril 2006, 00:58

comme tu dois trouver 4 coefficients $a_i$ vérifiant $f(x)\simeq a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3$ en $x=0$, tu peux évaluer les dérivées successives de $f$ et les identifier à celles du polynome.
Par exemple $f(0)=0$ donc $a_0=0$, $f'(0)=\frac{e}{2}$ donc $a_1=\frac{e}{2}$...
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Re: [L1] Developpement limité

Messagepar sotwafits » Vendredi 21 Avril 2006, 01:15

Kazik a écrit:Bonjour,

je n'arrive pas à calculer le développement limité à l'ordre 3 au voisinage de 0 de la fonction suivante :
$f(x)=e^{\sqrt{1+\sin(x)}}-e$

J'ai procédé comme suit :
$\sqrt{1+\sin(x)}=(1+\sin(x))^{1/2}$

J'ai donc utilisé le $DL_3(0)$ de $(1+x)^a=1+ax+\frac{a(a-1)}{2!}x^2+\frac{a(a-1)(a-2)}{3!}x^3+o(x^3)$
et aussi le $DL_3(0)$ de $\sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+o(x^4)$

mais j'ai un calcul affreux seuleument pour ce calcul ... n'est pas une bonne méthode ?
merci.

Le calcul n'est pas affreux, car il ne faut garder que les termes d'ordre $\le 3$ :

$\sqrt{1+\sin x}=1+\dfrac{\sin x}2-\dfrac{\sin^2 x}8+\dfrac{\sin^3 x}{16}+o(\sin^3 x)$
Pour $\sin^2x$ et $\sin^3x$, il ne reste qu'un terme d'ordre $\le 3$ chacun, donc ce n'est pas trop compliqué (par contre les fractions n'ont pas l'air très sympathique :()

Ensuite il faut utiliser le DL de $\exp$ en 0.
sotwafits
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Re: [L1] Developpement limité

Messagepar Kazik » Vendredi 21 Avril 2006, 23:58

sotwafits a écrit:Le calcul n'est pas affreux, car il ne faut garder que les termes d'ordre $\le 3$ :

$\sqrt{1+\sin x}=1+\dfrac{\sin x}2-\dfrac{\sin^2 x}8+\dfrac{\sin^3 x}{16}+o(\sin^3 x)$
Pour $\sin^2x$ et $\sin^3x$, il ne reste qu'un terme d'ordre $\le 3$ chacun, donc ce n'est pas trop compliqué (par contre les fractions n'ont pas l'air très sympathique :()

Ensuite il faut utiliser le DL de $\exp$ en 0.


J'arrive au même résultat. Ensuite j'ai :
$\sin(x)=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)$
d'ou
$\sqrt{1+\sin x}$
=
$1+\frac{(x-\frac{x^3}{6}+o(x^3))}{2}$ - $\dfrac{(x-\frac{x^3}{6}+o(x^3))^2}8$ + $\dfrac{(x-\frac{x^3}{6}+o(x^3))^3}{16}$ + $o((x-\frac{x^3}{6}+o(x^3))^3)$

:shock:
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Messagepar guiguiche » Samedi 22 Avril 2006, 07:34

Kazik, comme cela t'a été dit auparavant, développe les termes polynomiaux puis tronque à l'ordre 3 (on ne conserve que les termes de degré 0, 1, 2 et 3) et ajoute le reste $\underset{x \to 0}{o}(x^3)$.
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Messagepar kilébo » Samedi 22 Avril 2006, 12:24

DUET a écrit:comme tu dois trouver 4 coefficients $a_i$ vérifiant $f(x)\simeq a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3$ en $x=0$, tu peux évaluer les dérivées successives de $f$ et les identifier à celles du polynome.
Par exemple $f(0)=0$ donc $a_0=0$, $f'(0)=\frac{e}{2}$ donc $a_1=\frac{e}{2}$...


Ca c'est rarement une bonne idée (ne te vexe pas DUET, c'est juste une remarque). Le théorème sur les dérivées successives sert quasiment uniquement dans les cas suivants :
- Permets de s'assurer de l'existence d'un tel D.L.
- A permi au prof (et presque à lui seul en fait !) de calculer les D.L. des fonctions classiques et notamment celles obtenues à partir d'une exponentielle réelle ou complexe (par ex. la fonction $x -> e^{x}$ ou encore $x -> cos(x)$)
- Permets de retrouver les dérivées successives à partir du D.L. grâce à l'unicité du D.L.

Ainsi ce théorème s'emploie en général dans l'autre sens : D.L. => dérivées.
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Messagepar guiguiche » Samedi 22 Avril 2006, 14:14

Je partage l'avis de kilébo. Il faut faire preuve de pugnacité pour, en général, déterminer la dérivée trois/quatrième d'une fonction (cf. celle proposée dans ce fil). Par contre, on le DL donne de manière immédiate (et donc pratique) les valeurs des dérivées successives au point considéré. La formule de Taylor-Young (et plus généralement la formule de Taylor avec reste intégral) s'avère un outil théorique bien peu commode dans la pratique.
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Messagepar DUET » Dimanche 23 Avril 2006, 08:20

Il faut faire preuve de pugnacité pour, en général, déterminer la dérivée trois/quatrième d'une fonction (cf. celle proposée dans ce fil).


oui c'est dommage pour la détermination de $a_2,a_3$ mais c'est tellement facile pour les premiers coefficients : ne connaissez-vous pas une méthode qui combine les 2 ? (identification des coefficients "evidents" puis DL de quelquechose qui complète le problème)

Ca c'est rarement une bonne idée (ne te vexe pas DUET, c'est juste une remarque)


Ok kilébo, tout va bien :wink:
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Messagepar guiguiche » Dimanche 23 Avril 2006, 08:28

DUET a écrit:Ne connaissez-vous pas une méthode qui combine les 2 ? (identification des coefficients "evidents" puis DL de quelquechose qui complète le problème)


A mon humble avis non, mis à part l'équivalence entre "être dérivable en un point" et "admettre un DL à l'ordre 1 en ce point".

L'autre jour encore, j'ai fait remarqué à mes élèves que l'on pouvait interpréter graphiquement les 4 coefficients du DL à l'ordre 3 que l'on avait obtenu (il y avait un point d'inflexion). Obtenir le même résultat directement (sans DL) aurait été beaucoup plus lourd (bien que le DL n'était pas trivial).

Cordialement
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Messagepar Kazik » Dimanche 23 Avril 2006, 22:43

DUET a écrit:comme tu dois trouver 4 coefficients $a_i$ vérifiant $f(x)\simeq a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3$ en $x=0$, tu peux évaluer les dérivées successives de $f$ et les identifier à celles du polynome.
Par exemple $f(0)=0$ donc $a_0=0$, $f'(0)=\frac{e}{2}$ donc $a_1=\frac{e}{2}$...


en faite j'y arrive mieux avec les dérivées successives, merci beaucoup.
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