Développement limité

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Développement limité

Messagepar celtic » Samedi 18 Août 2007, 16:20

Bonjour à tous

Je me propose d'étudier $e^{-n\times ln(1+\frac{1}{n})}$

On ne peux trouver la limite puisque on a une forme indéterminé de cette fonction
$-n\times ln(1+\frac{1}{n})$

Etude en developpement limité

$ln\left(1+x\right)=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+...+(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}+0(x^n})$

$ln\left(1+\frac{1}{n})$ est d'ordre 1
Ce qui fait

$\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{n}+\circ\left(\frac{1}{n}\right)$

Est correcte pour l'instant :?:
celtic
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Messagepar kojak » Samedi 18 Août 2007, 16:29

Salut Celtic,

Oui, c'est bon :wink:
Ce qui n'allait pas dans un de tes posts précédents, c'est que tu ne peux pas composer des équivalents : alors ce qu'il fallait faire :
1. Prendre la limite de $-n\ln\left(1+\dfrac{1}{n}\right)$ qui est donc $-1$ comme tu l'avais dit, grace à l'équivalent ou au développement limité,
2. Appliquer le théorème sur la composée les limites en disant : la limite de $e^x$ quand $x$ tend vers -1 est $e^{-1}$ par conséquent la limite de $\sqrt[n]{u_n}$ est $e^{-1}$
3. conclusion : d'après le critère de Cauchy, etc....
pas d'aide par MP
kojak
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Messagepar celtic » Samedi 18 Août 2007, 17:02

Un petit peu d'explication sur la composition des équivalent

Si j'ai compris, on a le droit d'écrire $U_n\sim V_n$ et cela parceque$\dfrac{U_n}{V_n} \rightarrow 1$
Mais pas$f(U_n)\sim f(V_n)$ :?:
celtic
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Messagepar guiguiche » Samedi 18 Août 2007, 17:10

celtic a écrit:Mais pas$f(U_n)\sim f(V_n)$ :?:

Parfois mais pas toujours pour certaines fonctions comme ln et exp. Mais pour les fonctions puissances, pas de problème.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
guiguiche
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Messagepar alexalaville » Dimanche 19 Août 2007, 21:44

Bonjour,

Il existe des théorèmes pour composer les deux membres d'une équivalence, mais leurs hypothèses ne sont pas toujours évidentes.

Personnellement, je pense qu'il vaut mieux s'atteler à bien comprendre et à utiliser les écritures de développements limités comprenant des $o$ et des $O$.
Il suffit alors d'utiliser la définition première de l'équivalence.

Alexandre.
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