Développement de Laurent

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Développement de Laurent

Messagepar ptah sokar » Lundi 18 Juin 2007, 17:55

Bonjour !

Est ce que quelqu'un pourrait m'expliquer exactement la démarche à suivre pour écrire le développement de Laurent d'une fonction f car je ne le trouve nul part et je n'ai pas compris....
Par exemple le développement de Laurent en 0 de $f(z) = 1/(z^3-2z^2)$ dans l'anneau {z | |z|>2} ainsi que le calcul de son résidu en 0 : Res(f(z),0)

merci a tous
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Messagepar beld » Lundi 18 Juin 2007, 21:57

Vous pouvez décomposez cette fonction en une somme de pôles simples et doubles. Après le reste sera facile.
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Messagepar kojak » Mardi 19 Juin 2007, 06:42

Bonjour,
Le plus simple est d'écrire $f(z)=\dfrac{1}{z^3\left(1-\dfrac{2}{z}\right)}$, et ensuite de décomposer en série $\dfrac{1}{1-\dfrac{2}{z}}$ à l'aide de $\dfrac{1}{1-u}$ et je pense bien que tu auras ta série de Laurent....
Une fois obtenue, il est immédiat d'avoir le résidu de $f$ en $0$... : il suffit de "lire" la série de Laurent...
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Messagepar Pythales » Mardi 19 Juin 2007, 19:00

Tu ne peux pas avoir le résidu en 0 si tu es dans le domaine $|z|>2$
En 0, il faut écrire :
$\frac{1}{z^3-2z^2}=-\frac{1}{2z^2}\frac{1}{1-\frac{z}{2}}=-\frac{1}{2z^2}(1+\frac{z}{2}+\frac{z^2}{4}+...+\frac{z^n}{2^n}+...)$
soit $f(z)=-\frac{1}{2z^2}-\frac{1}{4z}-\frac{1}{8}-...-\frac{z^{n-2}}{2^{n+1}}-...$
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Messagepar beld » Mardi 19 Juin 2007, 20:49

Il y a un pole simple en z=2, le domaine vient peut être de là.
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Messagepar kojak » Mercredi 20 Juin 2007, 12:16

beld a écrit:Il y a un pole simple en z=2, le domaine vient peut être de là.

C'est surtout que pour faire ce développement en série de Laurent, il faut s'assurer de la convergence de la série $\dfrac{1}{1-X}$ pour $|X|<1$

Pythales a écrit:En $0$, il faut écrire $f(z)=-\dfrac{1}{2z^2}\dfrac{1}{1-\frac{z}{2}}$
: cela montre l'importance du domaine pour développer en série de Laurent....
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Messagepar ptah sokar » Vendredi 22 Juin 2007, 17:11

alors moi j'ai donc écris :

$f(z) = \frac {1}{z^3}\frac {1}{1 - \frac {2}{z} }$

d'ou $f(z) = \frac {1}{z^3}\sum_{n \ge 0} (\frac {2}{z})^n$

donc $f(z) = \sum_{n \ge 0} 2^n z^{-n-3}$

[Edit Kojak : une seule balise au début et à la fin de tes formules :wink: ]
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Messagepar kojak » Vendredi 22 Juin 2007, 17:24

Oui, c'est bon pour $|z|>2$.....
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Messagepar ptah sokar » Vendredi 22 Juin 2007, 17:30

oki merci :)

et le résidu de f(z) en 0 c'est donc 1/2 ?
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Messagepar kojak » Samedi 23 Juin 2007, 12:19

ptah sokar a écrit:et le résidu de f(z) en 0 c'est donc 1/2 ?

Pour le résidu de $f$ en $0$, il faut faire ce qu'a proposé Pythales plus haut....
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