[MPSI] Deux questions sur les bornes

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

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[MPSI] Deux questions sur les bornes

Messagepar pouik » Vendredi 13 Octobre 2006, 14:33

bonjour,
je suis bloqué sur cet exercice (je vois vraiment pas comment faire) :

"Soit $A$ une partie non vide et majorée de $\R$. On suppose que $supA  \notin  A$.

- Construire une suite $(an)n \in  \N *$ d'éléments de $A$, strictement croissante et convergeant vers $supA$. On pourra construire les $an$ par recurrence.
- Illustrer la situation"

merci d'avance :)
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Messagepar guiguiche » Vendredi 13 Octobre 2006, 14:46

C'est basé sur le théorème :
$\forall\varepsilon>0,\;\exists x\in A\;/\;|x-\sup(A)|\leq\varepsilon$
qui caractérise la borne supérieure et qui doit figurer dans ton cours.
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Messagepar pouik » Vendredi 13 Octobre 2006, 15:49

effectivement ca figure dans mon cours,
donc si je pose $M=supA$ alors on a $M- \varepsilon < a < M$ mais le problème c'est que j'ai pas d'idée pour la suite $(an)$ : sauf si on peut crééer une suite $an=1/n + M$. mais a-t-on le droit ????
merci d'avance
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Messagepar acid24 » Vendredi 13 Octobre 2006, 16:11

peut etre voulais tu dire $a_n= M-\frac{1}{n}$ ? mais en fait rien ne dis que $a_n \in A$ imaginons que l'on prenne $A = ]0,1[ \setminus \Q$ sauf erreur on aurait $M=1$ mais on a $a_n=1-\frac{1}{n} \notin A $ car $a_n \in \Q$

mais sinon tu sembles sur la bonne voie ...
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Messagepar kilébo » Vendredi 13 Octobre 2006, 16:24

As-tu noté la difficulté "principale" du problème ?

Il s'agit de combiner deux choses :
1. Faire une suite qui converge vers la borne sup. Mais cela est-il si difficile ?
2. Il faut, en fait, que cette suite soit croissante.

Commence par traiter le 1.

Proposes-nous quelque chose. Puis, traite le 2.
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Messagepar pouik » Vendredi 13 Octobre 2006, 16:32

si on prend par exemple $an=M- \varepsilon .n/26$
alors pour $x$ assez grand (ici $x>26$) on a bien l'encadrement :
$M -  \varepsilon < a27 < M$
et de plus $(an)$ est croissante mais ca ressemble quand même drolement à la précédente donc je suis pas sur que ce soit bon.
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Messagepar kilébo » Vendredi 13 Octobre 2006, 16:38

J'avoue ne pas comprendre. D'où sorte ces 26 & 27 ?
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Messagepar acid24 » Vendredi 13 Octobre 2006, 16:39

tu ne semble pas tenir conmpte de mes remarques ... sniff :cry:
rien ne dis qu'une suite de la forme $a_n=M- \frac{\lambda}{n} $ soit dans l'ensemble A , et c'est la première chose a verifier avant la croissance ou autre chose
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Messagepar pouik » Vendredi 13 Octobre 2006, 16:44

oui je sais vois je vois pas comment construire autrement une suite telle que :
$an = M - quelque chose qui tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini$
Sinon à part une suite de cette forme je ne vois pas comment $(an)$ peut converger vers M et satisfaire l'encadrement précédent.
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Messagepar pouik » Vendredi 13 Octobre 2006, 17:07

pourriez vous me donner une $petite indication$ :( :( pour trouver une telle suite $(an)$.
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Messagepar guiguiche » Vendredi 13 Octobre 2006, 17:30

pouik a écrit:pourriez vous me donner une $petite indication$ :( :( pour trouver une telle suite $(an)$.

Pour tout $n$, il existe $a_n \in A$ tel que $|a_n -\sup(A)|\leq\dfrac{1}{n}$ (avec $\varepsilon=1/n$) ce qui règle le problème n°1 mentionné par Kilébo.
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Messagepar pouik » Vendredi 13 Octobre 2006, 17:55

désolé mais je ne vois pas en quoi cela nous aide plus; ca ne nous donne pas d'indication pour trouver $(an)$, ca nous dit juste que $lim(an)=+ \infty $.
vraiment je ne vois pas
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Messagepar pouik » Vendredi 13 Octobre 2006, 17:57

$Question$ : faut il utiliser la recurrence mentionnée dans le texte pour trouver cette suite $(an)$ ???? :?: :?:
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Messagepar guiguiche » Vendredi 13 Octobre 2006, 18:00

pouik a écrit:désolé mais je ne vois pas en quoi cela nous aide plus; ca ne nous donne pas d'indication pour trouver $(an)$, ca nous dit juste que $lim(an)=+ \infty $.
vraiment je ne vois pas

En quoi la suite que je te propose admet-elle $+\infty$ pour limite ?
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Messagepar MB » Vendredi 13 Octobre 2006, 18:02

@pouik : Il ne faut pas utiliser LaTeX pour autre chose que des formules mathématiques car ça surcharge le serveur pour rien. :wink:
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Messagepar pouik » Vendredi 13 Octobre 2006, 18:11

desolé (faute de frappe) (an) tend vers supA.
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Messagepar kilébo » Vendredi 13 Octobre 2006, 18:15

Alors maintenant tu as une suite qui tend vers $sup(A)$.

Reste à "corriger" un peu, le procédé que guiguiche te propose.

Tu as donc choisi $a_n$ tel $\forall n \geq 0, \, M - \dfrac{1}{n} < a_n < M$. Quelle correction à ce schéma pourrais-tu imaginer ?
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Messagepar pouik » Vendredi 13 Octobre 2006, 18:21

est-ce que par correction tu entends qu'il faut dire que $(an)$ est croissante ??
par ce que sinon je ne comprend pas ce que veux dire corriger.
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Messagepar pouik » Vendredi 13 Octobre 2006, 18:29

est-ce qu'il faut remarquer que :
$M - 1/(n+1) < M - 1/n$ donc pour que l'inegalité reste vérifiée il faut nécessairement que $a(n+1) > a(n)$ ce qui n'est n'est vérifié que quand $(an)$ est croissante donc forcément $(an)$ est croissante ???
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Messagepar guiguiche » Vendredi 13 Octobre 2006, 19:48

pouik a écrit:est-ce qu'il faut remarquer que :
$M - 1/(n+1) < M - 1/n$ donc pour que l'inegalité reste vérifiée il faut nécessairement que $a(n+1) > a(n)$ ce qui n'est n'est vérifié que quand $(an)$ est croissante donc forcément $(an)$ est croissante ???


Le problème est que l'existence d'un élément $a_n \in A$ tel que $|a_n - \sup(A)|\leq 1/n$ n'oblige pas à avoir en plus $1/(n+1)<|a_n - \sup(A)|$ ce qui forcerait alors la suite à être croissante strictement.
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