[MPSI] Deux questions sur les bornes

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

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Messagepar pouik » Vendredi 13 Octobre 2006, 20:00

donc il faut construire $(an)$ par recurrence comme suggéré dans le texte mais je vois pas comment faire, pouvez vous me donner la proposition à demontrer (ou au moins une piste pour la trouver).
s'il vous plait :cry:
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Messagepar guiguiche » Vendredi 13 Octobre 2006, 20:13

Une piste : supposons construit $a_n$. Choisir $\varepsilon$ convenablement (en fonction de $a_n$) pour que l'élément $a_{n+1}$ que l'on va obtenir soit strictement supérieur à $a_n$.
C'est mon dernier mot. J'attends ta récurrence.
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Messagepar pouik » Vendredi 13 Octobre 2006, 20:38

puis je utiliser la definition de la borne supérieure de la manière suivante ? :
comme $M \notin A,  \forall an \in A  \exists a(n+1) \in A$ tel que $an < a(n+1) < M$
sinon je ne vois pas comment exprimer an en fonction de epsilon.
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Messagepar guiguiche » Vendredi 13 Octobre 2006, 20:51

pouik a écrit:sinon je ne vois pas comment exprimer an en fonction de epsilon.

Mais non, c'est le contraire : comment choisir $\varepsilon$ (puis $a_{n+1}$) pour que $a_n < a_{n+1} < \sup(A)$ ?
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Messagepar pouik » Vendredi 13 Octobre 2006, 20:54

on prend $an=supA -  \varepsilon $ c'est ca ???
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Messagepar pouik » Vendredi 13 Octobre 2006, 21:06

c'est-à-dire $ \varepsilon =supA - an$ ????
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borne sup

Messagepar michelll » Vendredi 13 Octobre 2006, 22:44

Je me permets de rappeler la caractérisation de la borne sup d'une partie majorée de $A\subset \R$ :

$M=\sup(A)$ si et seulement si $M$ est un majorant de $A$ et si pour tout $\epsilon_n >0$, il existe $a_n \in A$ tel que $M-\epsilon_n <a_n \le M$.

Indication : $\epsilon_0=1$, $\epsilon_n =\min(1/n, M-a_{n-1}) $ te permets de construire une suite $(a_n)$ ayant les bonnes propriétés (exo).

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Messagepar pouik » Samedi 14 Octobre 2006, 05:46

bonjour,
oui mais dans ce cas alors on trouve $a(n+1) < an$ et on veux plutot le contraire car on veut que la suite soit croisssante
non :?: :?: :?:
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Messagepar guiguiche » Samedi 14 Octobre 2006, 07:30

$a_n$ étant choisi lors de l'hypothèse de récurrence, on pose :

$$\varepsilon = \dfrac{\sup(A)-a_n}{2}$$


On applique le théorème pour obtenir un $a_{n+1}$. A-t-on obtenu ce que l'on cherchait ?
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Messagepar pouik » Samedi 14 Octobre 2006, 07:46

M est un majorant si et seulement si pour tout $\varepsilon$ en particulier pour $\varepsilon=(supA - an)/2$, $\exists a(n+1) \in A$ tel que :
$M -  \varepsilon < a(n+1) < M$
c'est ca ???
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Messagepar kilébo » Samedi 14 Octobre 2006, 08:16

pouik a écrit:M est un majorant si et seulement si pour tout $\varepsilon$ en particulier pour $\varepsilon=(supA - a_n)/2$, $\exists a_{n+1} \in A$ tel que :
$M -  \varepsilon < a_{n+1} < M$
c'est ca ???


Oui ! Reste à démontrer que $a_n$ construit ainsi convient.
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Messagepar pouik » Samedi 14 Octobre 2006, 08:25

"convient" : convenir à quoi, je comprends pas bien (désolé) :( :( :(
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Messagepar kilébo » Samedi 14 Octobre 2006, 08:35

pouik,

Déjà tu n'as pas à être désolé : ta volonté de comprendre ne fait aucun doute et ici on aime aider les élèves comme toi.

Ce que je voulais dire c'est que tu as construit une suite $a_n$. Il reste à démontrer que cette suite vérifie bien les conditions du problèmes :
1. Cette suite converge-t-elle vers M ?
2. Cette suite est-elle croissante ?

En Mathématiques lorsque l'on demande de trouver une suite (ou tout autre chose) qui vérifie certaines propriétés, il ne suffit pas de donner cette suite, il faut démontrer qu'elle répond bien à la question posée ?

Tu comprends ?
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Messagepar michelll » Samedi 14 Octobre 2006, 10:01

"oui mais dans ce cas alors on trouve ... et on veux plutot le contraire car on veut que la suite soit croisssante non"

Ca marche tres bien d'abord tu trouves $a_0$ en appliquant la caracterisation avec $\epsilon_0=1$. Puis par récurrence : tu supposes $a_0<a_1<...<a_n$ construit et $M-\epsilon_n < a_n \le M$ avec $\epsilon_n=\min(1/n,M-a_{n-1})$. Tu appliques ensuite la caractérisation de la borne sup à $\epsilon_{n+1}=\min(1/{n+1},M-a_n)$ et cela te donnes : il existe $a_{n+1}\in A$ tel que $ M-\epsilon_{n+1}<a_{n+1}\le M$. Puisque $\epsilon_{n+1}\le M-a_n$ cela te donne (en utilisant les 2 dernières inégalités) :
$a_n<a_{n+1}\le  M$. ...et la suite est croissante (même strictement). Ensuite un petit argument du même type ($\epsilon_{n+1}\le \frac{1}{n+1}$ + remplacement dans la bonne inégalité) te donne un encadrement qui montre que $a_n$ converge vers M. A toi d'écrire cela proprement.

Ensuite bien sûr, essaye de rédiger aussi les choses en choisissant $\epsilon_n=\frac{M-a_n}{2}$ ....

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Messagepar kilébo » Samedi 14 Octobre 2006, 10:13

Je suis d'accord avec Mitchelll, un schéma du type : choisir $a_n$ tel que $sup(M - 1/n, a_{n-1}) < a_n < M$ me parait plus facile à exploiter qu'un schéma en divisant par 2 la distance entre $a_{n-1}$ et $M$. C'est d'ailleurs

Par contre, je trouverais très intéressant que pouik, nous prouvent que ces deux schémas répondent à la question.

Remarque : Ce que j'appelle un schéma n'a rien à voir avec une figure sur un dessin, un schéma est, ici, une façon de construire de façon récursive une suite.
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Messagepar pouik » Samedi 14 Octobre 2006, 12:54

bon okay j'essaye,
Initialisation : je vois pas
Iteration : Supposons $a0 < a1 < ... < an$ construit avec $M -  \varepsilon n < an > M$ avec $\varepsilon n=min(1/n, M - a(n-1))$
Montrons que $an < a(n+1) < M$
Appliquons la définition de la borne supérieure :
$\varepsilon n  \in ]0;+ \infty[$ (en particulier pour $\varepsilon (n+1) = min(1/n+1; M-an)$, $ \exists a(n+1)  \in A$ tel que :
(1) $M -  \varepsilon (n+1) < a(n+1) < M$ (hypothèse de recurrence)
De plus, on a :
(2) $\varepsilon (n+1) \le M - an$ (déf de $\varepsilon (n+1)$)
Donc en combinant (1) et (2) on obtient l'encadrment :
$an < a(n+1) < M$ (donc $an$ est croissante)
Conclusion : on a montré que la propriété était vraie pour tout n entier.

De plus d'après la définition de $\varepsilon (n+1)$ on a aussi l'inégalité suivante :
(3) $\varepsilon (n+1)  \le 1/n+1$
Donc en combinant (1) et (3) on obtient l'encadrment :
$M - 1/n+1 < a(n+1) < M$ (donc par encadrement "theoreme des gendarmes" $a(n+1)$ converge vers M ; donc a fortiori $an$ converge vers supA)

on a ainsi construit une suite $an$ qui vérifie les conditions initiales (mais je suis pas sur de tout). :oops: :oops:
Dernière édition par pouik le Samedi 14 Octobre 2006, 13:55, édité 1 fois.
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Messagepar Arnaud » Samedi 14 Octobre 2006, 13:02

Il faudrait éditer ton message pour remettre les "dollars" en bonne place, car ela risque de surcharger le serveur.
Arnaud

Un peu d'info - Pyromaths
LaTeX - Exemples de formules LaTeX

Pas d'aide en MP (non plus)
Arnaud
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Messagepar michelll » Samedi 14 Octobre 2006, 13:43

Oui, c'est ça ! pour l'initialisation, tu prends (par exemple) $\epsilon=1$ et tu appliques le critère ce qui te donne un $a_0$.

Un bon exo serait de rédiger une preuve pour $\epsilon_n= (M-a_n)/2$.

@+
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Messagepar pouik » Samedi 14 Octobre 2006, 13:56

mais c'est bon sinon (car je n'ai pas le sentiment de mettre vraiment servi de la recurrence) ???
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récurrence

Messagepar michelll » Samedi 14 Octobre 2006, 15:48

C'est une récurrence directe; c'est assez difficile de rédiger une bonne récurrence mais il faut s'y forcer. (le plus souvent l'idée est comprise mais la rédaction est mauvaise)... "je vais construire $a_{n+1}$ v\'erifiant l'hypothèse de récurrence (ça peut être $a_{n-1}<a_n$ et $M-1/n<a_n \le M$ ) au rang $n+1$. Je conclus.

Attention : ici la suite est strictement croissante car $M\notin A$, il faut utiliser cette hypothèse ! où est-ce que tu l'utilises ?
Sinon, elle peut être constante égale à $M$ à partir d'un certain rang, ce qui n'est pas un Problème car elle sera tjs croissante. Dans ce cas tu mets des inégalités larges partout...
bon travail,

michel
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