Dérivabilité en zéro de la moyenne de Cesaro d'une fonction

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Dérivabilité en zéro de la moyenne de Cesaro d'une fonction

Messagepar raid » Lundi 28 Mai 2007, 19:07

Bonsoir

Je n'arrive pas à trouver la solution à cette question si vous pouviez me donner un coup de main :

Soit f une application continue de R+ vers R et f* la fonction associée telle que :

Pour tout x>0 f*(x)=1/x int(f(t)dt,t,0,x)
f*(0)=f(0)

1) On suppose que f est dérivable en 0
a) la fonction f* est-elle dérivable en 0?
b) Démontrer que si f est monotone sur R+, la fonction f*-f est de signe constant sur R+ et que f* est aussi monotone sur R+.

2) On suppose que f est périodique de période T>0
Démontrer que f* a une limite dinie en +inf et exprimer cette limite en fonction des réels T et int(f(t)dt,t,0,T)

Voila merci d'avance
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Messagepar Tryphon » Lundi 28 Mai 2007, 19:33

Qu'as tu fait ?
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Messagepar raid » Lundi 28 Mai 2007, 19:50

Je pense que la fonction n'est pas dérivable en 0.
J'ai écrit le taux de variation en 0 de f* et essayé de montrer qu'il tendait vers l'infini. J'arrive au calcul de la limite de 1/x² int(f(t)-f(0)dt,0,x)
après j'ai essayé de me servir du fait que f était continue en 0 donc la limite de f en 0 c'est f(0) mais je sais pas trop comment conclure


Pour f périodique je n'ai pas réussi à prouver que f *a une limite finie en +inf.
Mais si elle en a une alors je pense qu'on peut dire que la limite quand x tend vers l'infini c'est la même que si on prend x=nT et n tend vers l'inifini
Du coup on trouverait que la limite c'est 1/T int(f(t)dt,0,T)
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Messagepar Tryphon » Lundi 28 Mai 2007, 20:00

raid a écrit:Je pense que la fonction n'est pas dérivable en 0.


STOOOOOOOP ! Va pas plus loin, elle l'est il me semble. Exprime $f^*(x)$ en fonction d'une primitive $F$ de $f$ que tu vas Tayloriser en 0 à l'ordre 2 (puisque $f$ est taylorisable à l'ordre 1).
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Re: Dérivabilité en zéro de la moyenne de Cesaro d'une fonct

Messagepar guiguiche » Lundi 28 Mai 2007, 20:02

raid a écrit:Pour tout x>0 f*(x)=1/x int(f(t)dt,t,0,x)

Code: Tout sélectionner
$ \ds \forall x>0, f^*(x)=\frac{1}{x} \int_0^x{f(t)dt} $

qui donne : $ \ds \forall x>0, f^*(x)=\frac{1}{x} \int_0^x{f(t)dt} $.
Sans le \ds, on a : $ \forall x>0, f^*(x)=\frac{1}{x} \int_0^x{f(t)dt} $.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
guiguiche
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Messagepar raid » Lundi 28 Mai 2007, 20:07

ok merci Tryphon j'ai réussi en faisant le DL 2 en 0 de F à prouver que f* était dérivable en 0.
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Messagepar raid » Lundi 28 Mai 2007, 20:21

Une idée pour les autres questions?
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Messagepar Tryphon » Lundi 28 Mai 2007, 20:40

Je crois que tu l'as, l'idée. Tu dis que c'est la même limite que si on prend $x = nT$ et qu'on fait tendre $n$ vers $+\infty$. Creuse encore et essaie de controler la différence.
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Messagepar raid » Lundi 28 Mai 2007, 20:41

Déjà pour la b, si $f^*-f$ de signe constant sur $R^+$ alors comme $f^*'(x)=\frac{1}{x} \((f^*(x)-f(x))$ on a la monotonie de $f^*$
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Messagepar raid » Lundi 28 Mai 2007, 20:45

Voilà le problème c'est de comparer l'intégrale de 0 à x et celle de 0 à nT.
Au début je pensais encadrer l'intégrale par deux autres de 0 à nT et de 0 à (n+1)T mais en fait on ne peut pas vraiment savoir qui est supérieur à qui quand x est situé entre nT et (n+1)T. Je sais pas si je peux dire juste qu'on est capable de trouver un p et un q tels que l'intégrale de 0 à x soit comprise entre celle de 0 à q et de 0 à p
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