Dénombrement

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

Modérateur: gdm_aidesco

Règles du forum
Merci d'éviter le style SMS dans vos messages et de penser à utiliser la fonction Recherche avant de poster un message. Pour joindre des fichiers à vos messages, consulter ce sujet.
> Penser à utiliser le mode LaTeX (voir ici) afin de rendre vos formules plus lisibles.
> Ne poster qu'un exercice (ou problème) par sujet et indiquer son niveau précis dans le titre du message.

Dénombrement

Messagepar rg33 » Mercredi 29 Janvier 2014, 21:05

Bonjour,
Je me casse les dents sur le calcul suivant :

si S(n) = somme des chiffres de 1 à n

Je cherche une formule pour calculer somme des S(n) pour n=1 à n.

S(1)=1
S(2)= S(1) +2 = 3 somme des S = S(1)+S(2) = 4
S(3)= S(2) + 3 = 6 somme des = S(1)+S(2)+S(3) = 10
...
S(n) = S(n-1) + S(n) somme des = S(1)+S(2)+S(3) + ... + S(n) = somme des S(n-1) + S(n)

Merci pour votre aide
rg33
Utilisateur
 
Messages: 6
Inscription: Mercredi 29 Janvier 2014, 19:09
Statut actuel: Post-bac | Master

Publicité

Re: Dénombrement

Messagepar Minibob59 » Mercredi 29 Janvier 2014, 21:58

Bonsoir,

je ne suis pas sûr de comprendre votre raisonnement...
On note $S(n)$ la somme des entiers $i$ compris entre $1$ et $n$, et on cherche à calculer cette somme en fonction de $n$, jusque là, pas de soucis.

Vous calculez $S(n)$ pour de petites valeurs de $n$, mais je ne comprends pas :
rg33 a écrit:somme des S = S(1)+S(2) = 4

Cherchez-vous à calculer la somme des sommes d'entiers ?

En tout cas, l'égalité $S(n) = S(n-1) + S(n)$ est fausse (car alors on aurait $S(n-1) = 0$).

Si vous voulez "découvrir" la formule, je vous propose la méthode utilisée par Gauss :
$S(n) = 1 + 2 + 3 + \dots + n$
$S(n) = n + (n-1) + \dots + 1$
Je vous laisse trouver l'astuce maintenant... :mrgreen:
Minibob59 !
Minibob59
Kilo-utilisateur
 
Messages: 234
Inscription: Dimanche 24 Janvier 2010, 11:14
Localisation: Palaiseau
Statut actuel: Post-bac | Ecole d'ingénieur

Re: Dénombrement

Messagepar rg33 » Mercredi 29 Janvier 2014, 23:09

je cherche effectivement à calculer la somme des sommes d'entiers.
Je sais calculer S(n) = n()(n+1)/2 mais pas la somme S(n)+S(n-1)+ ... +S(3)+S(2)+S(1)
et S(n)=S(n-1)+n et non S(n-1=S(n) (erreur d'écriture de ma part)

quand à l'astuce, on additionne les 2 ce qui fait 2 Sn = (n-1)n d'où Sn = (n-1)n/2 (vieux souvenir d'école)

merci
rg33
Utilisateur
 
Messages: 6
Inscription: Mercredi 29 Janvier 2014, 19:09
Statut actuel: Post-bac | Master

Re: Dénombrement

Messagepar Minibob59 » Jeudi 30 Janvier 2014, 10:09

D'accord !
On a bien $S(n) = \dfrac{n(n+1)}{2} = \dfrac{1}{2}n^2 + \dfrac{1}{2}n$.

Ainsi :

$$\sum_{n=1}^{N} S(n) = \dfrac{1}{2}\sum_{n=1}^N n^2 + \dfrac{1}{2} \sum_{n=1}^N n$$


Reste à déterminer la somme des carrés des entiers entre 1 et $N$... (une formule existe...).
Minibob59 !
Minibob59
Kilo-utilisateur
 
Messages: 234
Inscription: Dimanche 24 Janvier 2010, 11:14
Localisation: Palaiseau
Statut actuel: Post-bac | Ecole d'ingénieur

Re: Dénombrement

Messagepar rg33 » Jeudi 30 Janvier 2014, 11:30

Problème résolu .

La formule est très simple :

Somme des sommes d'entiers = n(n-1)(n-2)/6


Essai en LaTeX

$$\sum_{i=0}^{n}S_n = \frac{n(n-1)(n-2)}{6} $$



mais ça ne marche pas. Si quelqu'un peut me dire pourquoi ?
rg33
Utilisateur
 
Messages: 6
Inscription: Mercredi 29 Janvier 2014, 19:09
Statut actuel: Post-bac | Master

Re: Dénombrement

Messagepar rg33 » Jeudi 30 Janvier 2014, 12:05

Merci à minibob59

Effectivement, je n'avais pas vu que ce pouvait être aussi simple que ça.

$$ \sum_{n=1}^{N} n^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} $$



et

$$ \sum_{n=1}^{N} n = \dfrac{n(n+1)}{2} $$



donc après calcul :

$$ \sum_{n=1}^{N}S_n = \dfrac{n(n-1)(n-2)}{6} $$



J'ai pris des chemins beaucoup plus longs (genre récurrence) pour arriver au même résultat.

Encore merci pour la simplicité de votre solution.
rg33
Utilisateur
 
Messages: 6
Inscription: Mercredi 29 Janvier 2014, 19:09
Statut actuel: Post-bac | Master

Re: Dénombrement

Messagepar Minibob59 » Jeudi 30 Janvier 2014, 13:08

Je trouve plutôt : $\dfrac{n(n+1)(n+2)}{6}$...
Mais sinon, pas de quoi ! =)
Minibob59 !
Minibob59
Kilo-utilisateur
 
Messages: 234
Inscription: Dimanche 24 Janvier 2010, 11:14
Localisation: Palaiseau
Statut actuel: Post-bac | Ecole d'ingénieur

Re: Dénombrement

Messagepar rg33 » Jeudi 30 Janvier 2014, 14:39

Effectivement, grave erreur de retranscription
rg33
Utilisateur
 
Messages: 6
Inscription: Mercredi 29 Janvier 2014, 19:09
Statut actuel: Post-bac | Master


Retourner vers Exercices et problèmes : Supérieur

 


  • Articles en relation
    Réponses
    Vus
    Dernier message

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum: Bing [Bot] et 2 invités