[MPSI] Démonstrations

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

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[MPSI] Démonstrations

Messagepar lapinoux » Samedi 23 Septembre 2006, 18:01

Bonjour, voilà j'ai à faire deux démonstrations en DM de Maths:

La 1ère : Prouver que pour tout réel $x$,

$$|\arctan(sh\ x)| = \arccos \left(\dfrac{1}{ch\ x} \right)$$



la 2ème : $a$ et $b$ sont deux réels tels que $ab<1$. Prouver que:

$$\arctan(a) + \arctan(b) = \arctan \left(\dfrac{a+b}{1-ab}\right)$$



Faut s'aider de $tan (a+b) = \dfrac{\tan a + \tan b}{1- \tan a \tan b}$ ?

Je ne sais pas trop comment m'y prendre, j'aurai besoins de quelques pistes s'il vous plait, merci par avance.

@+

[Edit Arnaud : Merci d'utiliser LaTeX]
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Re: Démonstrations [PREPA MPSI]

Messagepar guiguiche » Samedi 23 Septembre 2006, 18:10

lapinoux a écrit:la 2ème : a et b sont deux réels tels que ab<1. Prouver que:
arctan(a) + arctan(b) = arctan ((a+b)/(1-ab))

Faut s'aider de tan (a+b) = (tana + tanb) / (1- tana tanb) ???

Oui, il faut s'aider de cette relation avec a=Arctan(A).
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Messagepar kilébo » Samedi 23 Septembre 2006, 18:40

Pour le deuxième point (j'avoue que le premier point me saute pas aux yeux), tu peux aussi te la question suivante (c'est une autre méthode que celle de guiguiche me semble-t-il, à toi de choisir celle qui te correspond le mieux) :

Si on a, à pas en douter, que $a=b \Rightarrow tan(a)=tan(b)$ quand cette écriture est autorisée, dans quel cas a-t-on $tan(a)=tan(b) \Rightarrow a=b$ ?

Si tu as besoin d'indications supplémentaires, n'hésite pas.
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Messagepar Arnaud » Samedi 23 Septembre 2006, 19:01

Un petit coup de dérivation pour le premier point...
Arnaud

Un peu d'info - Pyromaths
LaTeX - Exemples de formules LaTeX

Pas d'aide en MP (non plus)
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Messagepar lapinoux » Dimanche 24 Septembre 2006, 10:14

Pour le deuxième point , il faut que a soit congru a b modulo Pi ??
Pour le premier point j'ai beau me creuser la tête je n'arrive pas à commencer, je ne vois pas quel méthode utiliser. La dérivation, j'arrive pas à comprendre ou cela me mene, mettre tan a chaque membre de l'inégalité, cela donne du tan(arccos) et je vois pas ce que je peux en faire. Franchement sa fait deux heures que je pinaille sans avoir avancé, j'aurai vraiment besoin d'aide pour le 1ère démonstration SVP !!!
Merci par avance !!!
@+
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Messagepar kilébo » Dimanche 24 Septembre 2006, 12:09

Pour le deuxième point tu prends la tangente des deux membres et tu utilises la formule que tu donnes de $tan(a+b)$ et tu te rends comptes que les deux membres ont la même tangente.

Comme $ab < 1$, on doit pouvoir montrer que $-\frac{\pi}{2}< arctan(a) + arctan(b) < \frac{\pi}{2}$. Par ex, grâce à la formule $arctan(x) + arctan(1/x) = -\frac{\pi}{2} \, \textrm{ou} \, \frac{\pi}{2}$ selon le signe de $x$ et la croissance de la fonction $arctan$.
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Messagepar lapinoux » Dimanche 24 Septembre 2006, 13:46

J'ai un autre petit exercice dont voici l'énoncé :

Prouver que pour tout réel t $\in$] 0;1 [, il existe un unique $\theta_t$ $\in$]0 ; 1 [ tel que :

[center]$ln (\dfrac {1-t}{1+t}) = \dfrac {-2t}{1 - \theta^2_t t^2}$[/center]

En déduire l'inégalité suivante, valable pour t $\ge$0 :

[center]$e^{2t} \dfrac {1-t}{1+t} \ge 1$[/center]

J'aurais la aussi besoins de quelques indications. J'ai calculé $\theta^2_t$ en fonction de t, mais ensuite je ne sais pas quoi faire.
Merci par avance.

PS : merci a guiguiche et aux autres pour l'aide apportée jusqu'à présent.
Dernière édition par lapinoux le Dimanche 24 Septembre 2006, 17:48, édité 2 fois.
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Messagepar guiguiche » Dimanche 24 Septembre 2006, 15:33

Pour avoir $\theta_t$ il faut écrire:
Code: Tout sélectionner
\theta_{t}

Les accolades sont facultatives lorsqu'il n'y a qu'un seul caractère en indice.
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