Décomposition en éléments simples

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Décomposition en éléments simples

Messagepar Burning » Mardi 20 Février 2007, 17:56

Bonjour,
j'aimerais avoir un coup de pouce pour calculer cette intégrale
$\ds\int_{1}^{\sqrt{3}} \dfrac {1-x+x^2}{x^2(1+x^2)^2} dx$
la base de la décomposition est:
$\dfrac {1-x+x^2}{x^2(1+x^2)^2}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x^2}+\dfrac{C_1x+D_1}{1+x^2}+\dfrac{C_2x+D_2}{(1+x^2)^2}$
Quel changement de variable pourrais je faire?
Ou dois je procéder autrement?

Merci d'avance

[edit guiguiche : corrections mineures de latex pour indices et exposants]
Burning
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Messagepar Arnaud » Mardi 20 Février 2007, 18:00

Il ne faut pas faire de changement de variable puisqu'il faut faire une décomposition en éléments simples.
Chaque élément simple pourra être intégrer indépendamment.

Par exemple pour calculer $B$, calcule $\ds\lim_{x \to 0} \dfrac {1-x+x^2}{x^2(1+x^2)^2} \times x^2$
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Messagepar guiguiche » Mardi 20 Février 2007, 18:00

Exposants :
Code: Tout sélectionner
x^2

Indices :
Code: Tout sélectionner
C_1


Le changement de variable, c'est pour déterminer les coefficients ou effectuer le calcul de l'intégrale ?
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Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
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Messagepar Burning » Mardi 20 Février 2007, 18:22

Le changement de variable c'est pour trouver les coefficients.
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Messagepar guiguiche » Mardi 20 Février 2007, 18:32

C'est peu commun me semble-t-il. La méthode proposée par Arnaud est plus efficace normalement.
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Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
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Messagepar Burning » Mardi 20 Février 2007, 18:42

La méthode dit qu'il faut multiplier xf(x) et faire tendre x vers + inf.
Pourquoi faire tendre x vers 0 et multiplier x²f(x)?
Et pourtant la réponse est bonne car je trouve B=1.
J'ai pu la vérifier avec la calculatrice.
Burning
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Messagepar Arnaud » Mardi 20 Février 2007, 18:46

Difficile de refaire un cours complet à ce sujet, il y a plusieurs méthodes.

Voici une page qui explique un peu, avec des exemples traités intégralement :

http://www.les-mathematiques.net/a/d/a/node6.php3

Paragraphe : Calcul des coefficients d'une décomposition en éléments simples
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Messagepar Burning » Mardi 20 Février 2007, 19:01

Merci pour le lien. Il est beaucoup plus explicite.
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