Corps fini d'ordre $p^2$

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Corps fini d'ordre $p^2$

Messagepar woodoo » Lundi 09 Juin 2014, 17:45

Bonsoir,

encore un problème d'algèbre.
Soit $p > 2$.
1. Montrer que $\mathbb{F}_{p^2}^\times$ contient un élément d'ordre 8.


Je coince la dessus... :(

Pour l'instant j'ai déterminé les choses basiques. Tout d'abord, comme $p > 2$, on a $|\mathbb{F}_{p^2}^\times| = p^2 - 1 \geq 8$. De plus, on sait que $\mathbb{F}_{p^2}^\times$ est cyclique. Il existe donc un élément $x \in \mathbb{F}_{p^2}^\times$ tel que $\mathbb{F}_{p^2}^\times = \{1, x, x^2, \dots, x^{p^2-2}\}$. Ce que j'aimerais montrer, c'est que comme l'ordre d'un élément divise l'ordre du groupe, $p^2 - 1 \equiv 0 \pmod 8 \Leftrightarrow p^2 \equiv 1 \pmod 8$.
Je n'arrive pas à construire un élément d'ordre 8, et je ne sais pas trop quoi faire d'autre.

Merci d'avance.
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Re: Corps fini d'ordre $p^2$

Messagepar balf » Lundi 09 Juin 2014, 19:22

Vous pouvez appliquer le théorème chinois au groupe mumltiplicatif F$_{\!\mathsf{p^2}}^{\!\times}$ pour trouver un élément dont l'ordre est une puissance de 2. Cette puissance (r) est forcément au moins égale à 3, et si vous avez un élément d'ordre 2$^{\mathsf r}$, il n'est pas très difficile d'en trouver un d'ordre 8.

Si les théorèmes de Sylow font partie de votre outillage, c'est encore plus court.

B.A.
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Re: Corps fini d'ordre $p^2$

Messagepar woodoo » Lundi 09 Juin 2014, 19:56

Je connais les théorèmes de Sylow, mais je ne vois pas vraiment comment ils peuvent m'aider?

Pour l'instant, ce que j'ai c'est que comme $ p > 2$, on a que $ p^2 - 1$ est pair, donc divisible au mois une fois par 2. Ce qui fait qu'il existe un élément d'ordre 2 dans $G$. Mais je n'avance pas :/

EDIT: $p^2-1 = (p-1)(p+1)$, donc p-1 et p+1 sont divisibles par 2 car p≥3, donc $p^2 - 1$ est divisible par 4. Il me reste à trouver un facteur 2.
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Re: Corps fini d'ordre $p^2$

Messagepar woodoo » Lundi 09 Juin 2014, 20:25

Voici comment je l'ai montré:

Comme $p \geq 3$, on a que $p = 2k + 1$ pour un certain $k \in \N$.
J'ai montré par récurrence que 8 divise $p^2-1$, ça c'est facile.

Par les théorèmes de Sylow il existe donc un sous-groupe d'ordre 8. Comme $G$ (le groupe multiplicatif) est cyclique, le sous-groupe de Sylow est cyclique aussi, donc engendré par un seul élément, qui est d'ordre 8.
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Re: Corps fini d'ordre $p^2$

Messagepar balf » Mardi 10 Juin 2014, 19:17

Vous savez seulement qu'il existe un 2-Sylow qui sera d'ordre 2^r, r >=3. Il est cyclique, comme vous le faites remarquer. Après, il n'est pas très difficile d'en déduire un élément d'ordre 8 exactement.

Ou alors, de façon plus élémentaire, le groupe est isomorphe à Z/(p² - 1)Z, qui par le théorème chinois possède un facteur direct isomorphe à Z/2^rZ, lequel contient un élément d'ordre 8, d'où un élément d'ordre 8 dans Z/(p² - 1)Z.

B.A.
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Re: Corps fini d'ordre $p^2$

Messagepar woodoo » Jeudi 12 Juin 2014, 09:19

balf a écrit:Vous savez seulement qu'il existe un 2-Sylow qui sera d'ordre 2^r, r >=3. Il est cyclique, comme vous le faites remarquer. Après, il n'est pas très difficile d'en déduire un élément d'ordre 8 exactement.


Arf oui juste ça m'est sorti de la tête. Du coup j'ai conclut comme suit: comme $\mathbb{F}_{p^2}^\times$ est cyclique et d'ordre $p^2 - 1$, il existe $x \in \mathbb{F}_{p^2}^\times$ tel que $\mathbb{F}_{p^2}^\times = \{1 = x^{p^2-1}, x, x^2, \dots, x^{p^2-2}\}$. Comme 8 divise $p^2 - 1$, un élément d'ordre 8 est $x^{\frac{p^2-1}{8}}$.

balf a écrit:Ou alors, de façon plus élémentaire, le groupe est isomorphe à Z/(p² - 1)Z, qui par le théorème chinois possède un facteur direct isomorphe à Z/2^rZ, lequel contient un élément d'ordre 8, d'où un élément d'ordre 8 dans Z/(p² - 1)Z.


Je n'ai pas vu en cours le théorème chinois, et je n'ai pas bien compris comment il marche, alors je ne vais pas utiliser cette méthode, même si elle a l'air plus courte!

Merci pour votre aide!
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Re: Corps fini d'ordre $p^2$

Messagepar rebouxo » Jeudi 12 Juin 2014, 09:35

Le théorème des restes chinois c'est de l'arithmétique élémentaire. Tu l'as peut-être vu en terminale.

Olivier
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