Corps de déploiement de $x^4 + 2$

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Corps de déploiement de $x^4 + 2$

Messagepar woodoo » Dimanche 08 Juin 2014, 17:38

Bonsoir,

J'ai un exercice où je dois calculer le corps de déploiement de p(x) = x^4 + 2 sur Q.

Pour cela, il est indiqué que je dois considérer $\omega = e^{\frac{i \pi }{4}}$, autrement dit les racines 8èmes de l'unité.

Je ne comprend pas pourquoi on considère les $\omega^k = e^{\frac{i 2 \pi k }{8}}$ et non pas les $\omega^k = e^{\frac{i 2\pi k }{4}}$.

D'où vient le fait qu'on doit considérer les racines 8èmes de l'unité?

En cours, on avait fait un exemple où on a calculé les racines de $x^3 - 2$, et on a considéré $\omega = e^{\frac{i 2\pi }{3}}$, qu'on a ensuite multiplié par $\sqrt[2]{2}$. Pourquoi est-ce que je ne pourrais pas faire la même chose?

Merci d'avance et bonne soirée!
woodoo
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Re: Corps de déploiement de $x^4 + 2$

Messagepar balf » Dimanche 08 Juin 2014, 18:04

Je suppose que ce que vous appelez le corps de déploiement d'un polynôme est ce que j'appelle son corps des racines (l'extension de Q engendrée par les racines du polynôme dans C). On prend les racines 8-ièmes parce que, comme on veut résoudre l'équation x⁴ = 2, on a besoin des racines quatrièmes de 1 (si l'on veut prendre pour point de départ la racine quatrième de 2). Et les racines quatrièmes de –1, avec celles de 1, ça nous fait les racines 8-ièmes de 1.

B.A.
balf
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Re: Corps de déploiement de $x^4 + 2$

Messagepar woodoo » Lundi 09 Juin 2014, 12:57

Oui en effet c'était bien ça!

On a en fait $x^4 = -2$, donc on regarde $\sqrt[4]{-2} = \sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{-1} = \sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{\sqrt{1}} = \sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[8]{1}$ et bien entendu on ne garde que les racines 8èmes qui donnent -1.
Sinon on peut aussi poser $-1 = e^{i\pi}$ et $x = e^{\frac{2 \pi i k}{n}}$ et on cherche donc $n$ tel que $(e^{\frac{2 \pi i k}{n}})^4 = -1$, c'est-à-dire $e^{\frac{4 \cdot 2 \pi i k}{n}} = e^{i \pi}$ et donc $n = 8$ et $k$ est impair (car on veut obtenir $-1$).

Sinon oui, ce que j'appelle corps de déploiement est bien ce que vous appelez corps de racines.

Merci et bonne journée!
woodoo
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