Coordonnées cartésiennes

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Coordonnées cartésiennes

Messagepar romuald » Mercredi 02 Juillet 2008, 13:36

Bonjour,

je bloque sur cet exercice:

Soit $A$ une matrice à $m$ et $n$ colonnes à coefficients dans $\mathbb{K}$ et soit $B$ un vecteur (colonne) de $\mathbb{K}^m$. Soit $\mathcal{F}$ la partie de $\mathbb{K}^m$ définie par

$\mathcal{F} = \{X\in \mathbb{K}^n |\ AX=B\}$.


Expliquer pourquoi $\mathcal{F}$ est un sous-espace affine. Quelle est sa direction? Quand est-il vide? Exprimer sa direction à l'aide du rang $r$ de la matrice $A$.


J'ai dit que $\mathcal{F}$ est un sous-espace affine car c'est la préimage par l'application linéaire (donc affine) $f:X\in \mathbb{K}^n\rightarrow AX\in \mathbb{K}^m$ du sous-espace affine $\{B\}$.

Après je ne vois pas comment déterminer sa direction?

Merci pour votre aide.:)
romuald
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Re: coordonnées cartésiennes

Messagepar OG » Mercredi 02 Juillet 2008, 13:45

Bonjour

Concernant la direction tu peux toujours regarder dans un premier temps la différence de deux éléments de ton espace affine...

O.G.
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Re: Coordonnées cartésiennes

Messagepar romuald » Mercredi 02 Juillet 2008, 14:44

ah oui d'accord,

on choisit un point $O\in \mathcal{F}$.

Dire que $X\in \mathcal{F}$ équivaut à dire que $X\in O+\ker A$.

merci OG.
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Re: Coordonnées cartésiennes

Messagepar romuald » Mercredi 02 Juillet 2008, 14:49

et donc d'après le théorème du rang, $\dim  \ker A = m-r$.

Il est vide quand $f$ n'atteint pas $B$.
romuald
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