coordonnées barycentriques

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coordonnées barycentriques

Messagepar paspythagore » Dimanche 20 Mai 2012, 21:10

Bonjour,

j'ai quelques questions sur cette notion et les définitions qui me sont données dans le cours.

1-Proposition Soit $\mathscr{E}$ un $k$-espace affine de dimension finie $n$ et soit $(A_0,\cdots, A_n)$ un repère affine de $\mathscr{E}$. Pour tout $M\in\mathscr{E}$, il existe un unique $(n+1)$-uplet $(\alpha_0, \cdots, \alpha_n)$ de scalaires tels que $\sum\lambda_i=1$ et tel que $M=\sum\alpha_iA_i$.

2-Definition Si $M\in\mathscr{E}$ et si $(\alpha_0, \cdots, \alpha_i)$ est l'unique $(n+1)$-uplet de scalaires tel que $\sum\alpha_i=1$ et $M=\sum\alpha_iA_i$, on dira que les $\alpha_i$ sont les coordonnées barycentriques de $M$ dans le repère $(A_0, \cdots, A_n)$.

3-Coordonnées barycentriques et coordonnées cartésiennes Soit $M\in\mathscr{E}$ et soit $i\in\{0,\cdots, n)$.
$\bullet$ si $\alpha_0, \cdots, \alpha_n$ sont les coordonnées barycentriques de $M$ dans $(A_0, \cdots, A_n)$, ses coordonnées cartésiennes dans $(A_i,\overrightarrow{A_iA_j})_{0\leq j\leq n, j\neq i}$ sont les $\alpha_j$ pour $j\neq i$,
$\bullet$ si $(\lambda_j)_{0\leq j\leq n,j\neq i}$ est la famille des coordonnées cartésiennes de $M$ dans $(A_i,\overrightarrow{A_iA_j})_{0\leq j\leq n, j\neq i}$ alors $\alpha_j=\lambda_j$, pour tout $j\neq i$ et $\alpha_i=1-\ds\sum_{0\leq j\leq n, j\neq i}\lambda_j$.


Pour faire passer ces formules indigestes, j'ai quelques exercices corrigés :
Soit $N$, le point de coordonnées barycentriques $(1,3,4)$ dans $(A,B,C)$ : donner les coordonnées cartésiennes de $N$ dans le repère cartésien $(B;\overrightarrow{BA};\overrightarrow{BC})$

correction Il résulte du cours que les coordonnées cartésienne de $N$ dans $(B;\overrightarrow{BA};\overrightarrow{BC})$ sont $(1,4)$

Faut il rédiger : "les coordonnées cartésiennes dans $(A_i,\overrightarrow{A_iA_j})_{0\leq j\leq n, j\neq i}$ sont les $\alpha_j$ pour $j\neq i$ donc dans $(B;\overrightarrow{BA};\overrightarrow{BC})$ sont $(1,4)$ ?
Je n'ai d'ailleurs pas réussi à le "démontrer".
Soit $M$ le point de coordonnées $(1,-3)$ dans le repère cartésien $(A;\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC})$ ; donnez les coordonnées barycentriques de $M$ dans $(A,B,C)$.

correction Il résulte du cours que les coordonnées barycentriques de $M$ dans $(A,B,C)$ sont $(1-1+3,1,-3)=(3,1,-3)$

J'aurai écrit "les cordonnées barycentriques sont pour tout $j\neq i$ et $\alpha_i=1-\ds\sum_{0\leq j\leq n, j\neq i}\lambda_j$, soient $(1-1+3,1,-3)=(3,1,-3)$"

Merci de votre aide pour la rédaction (où il faut rappeler le cours mais pas redémontrer un résultat) et la "démonstration" qui donne les coordonnées cartésiennes en fonction des barycentriques.
paspythagore
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Re: coordonnées barycentriques

Messagepar Cruptos » Mercredi 23 Mai 2012, 03:37

paspythagore a écrit:Bonjour,

j'ai quelques questions sur cette notion et les définitions qui me sont données dans le cours.


Pour faire passer ces formules indigestes, j'ai quelques exercices corrigés :
Soit $N$, le point de coordonnées barycentriques $(1,3,4)$ dans $(A,B,C)$ : donner les coordonnées cartésiennes de $N$ dans le repère cartésien $(B;\overrightarrow{BA};\overrightarrow{BC})$

[b]correction Il résulte du cours que les coordonnées cartésienne de $N$ dans $(B;\overrightarrow{BA};\overrightarrow{BC})$ sont $(1,4)$



Ce résultat n'est pas correct :
On écrit que $\overrightarrow{AN}+3\overrightarrow{BN}+4\overrightarrow{CN}=0$
Puis on introduit $B$ là où il faut:
$\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}$
$\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BN}$
et donc en injectant dans la première relation :
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}+3\overrightarrow{BN}+4\overrightarrow{CB}+4\overrightarrow{BN}=0$
ce qui donne
$8\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BA}+4\overrightarrow{BC}$
Les coordonnées sont $(1/8,1/2)$

Il faut faire attention lorsque le poids global n'est pas $1$.
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Re: coordonnées barycentriques

Messagepar paspythagore » Mercredi 23 Mai 2012, 13:49

Merci pour cette explication.

Pour le résultat, je m'excuse, j'ai oublié de préciser que l'on travaillait sur le corps $\Z/7\Z$.
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