Continuité et calcul de norme

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Continuité et calcul de norme

Messagepar paspythagore » Mercredi 07 Mai 2014, 17:56

Bonjour.
Je souhaiterai que vous m'aidiez à détailler la correction de cet exercice :
Soit $E$ l'espace vectoriel $C^0([0,1])$ des fonctions continues sur $[0,1]$.
On le munit de la norme $\Vert\cdot\Vert_\infty$ définie par :

$$\Vert f\Vert_\infty=\ds\sup_{x\in[0,1]}\left|f(x)\right|$$


Montrer que la forme linéaire suivante est continue et calculer sa norme :

$$\delta_0(f)=f(0)$$



Si on considère que $\delta_0:E\to F$, pourquoi n'a t-on pas $E\subset\R$ et $F\subset\R$ ?
Pour les normes, c'est plus compliqué, pourquoi choisit on $|\cdot|$ pour $\delta_0$ pour répondre :

$\left|f(0)\right|\leqslant\ds\sup_{x\in[0,1]}\left|f(x)\right|$ donc $\delta_0$ est continue.
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Re: Continuité et calcul de norme

Messagepar Minibob59 » Mercredi 07 Mai 2014, 22:09

Je ne suis pas sûr de bien comprendre l'histoire des inclusions ($E \subset \mathbb{R}$...).
Ici $\delta_0$ est une forme linéaire sur l'espace $(E, \Vert \cdot \Vert_\infty)$, donc son espace d'arrivée est $(\mathbb{R}, \vert \cdot \vert)$.

Pour ce qui est de la continuité de la forme $\delta_0$, il suffit en effet d'écrire cette inégalité.
Par contre, on pourrait vérifier que cette forme linéaire n'est pas continue sur l'espace $(E, \Vert \cdot \Vert_1)$

$$\Vert f \Vert_1 = \int_0^1 \vert f(t) \vert \mathrm{d}t$$

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Re: Continuité et calcul de norme

Messagepar paspythagore » Jeudi 08 Mai 2014, 20:09

Bonjour MiniBob.
C'est cela que je comprends pas :
Ici $\delta_0$ est une forme linéaire sur l'espace $(E, \Vert \cdot \Vert_\infty)$, donc son espace d'arrivée est $(\mathbb{R}, \vert \cdot \vert)$.


A t-on $f\stackrel{\delta_0}{\to}f(0)$, $\R\to\R$ ?
Comment sait on que la norme de l'ensemble d'arrivée est la valeur absolue ?
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Re: Continuité et calcul de norme

Messagepar OG » Jeudi 08 Mai 2014, 20:50

Bonsoir

Par définition une forme linéaire d'un evn réel $E$ est une application linéaire définie de $E$ dans $\R$.
Sauf mention spéciale, $\R$ est muni de sa topologie usuelle, celle de la norme usuelle la valeur absolue
(inutile de se compliquer la vie).

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Re: Continuité et calcul de norme

Messagepar Minibob59 » Jeudi 08 Mai 2014, 23:05

paspythagore a écrit:A t-on $f\stackrel{\delta_0}{\to}f(0)$, $\R\to\R$ ?

$f$ est une fonction continue sur le segment $[0,1]$, et $\delta_0(f) = f(0)$ est bien évidemment un réel.
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Re: Continuité et calcul de norme

Messagepar paspythagore » Vendredi 09 Mai 2014, 19:36

Merci à tous.
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Re: Continuité et calcul de norme

Messagepar paspythagore » Samedi 10 Mai 2014, 09:03

Bonjour.
Un exercice de plus cette notion.
Soit $E$ l'espace vectoriel $C^0([0,1])$ des fonctions continues sur $[0,1]$. On munit cet EV de la norme $\Vert\cdot\Vert_1: \ds\int_0^1|f(x)|dx$.

Pour tout $g\in E$, soit $T_g:f\mapsto\ds\int_0^1f(t)g(t)dt$.

Montrer que $T_g$ est une forme linéaire continue et calculer sa norme d'opérateur.


Je suis coincé à partir de la continuité.

Il s'agit de comparer $\left| T_g(f)\Right|$ et $\ds\int_0^1|f(x)|dx$ ?

$\Big|\ds\int_0^1f(t)g(t)dt\Big|\leqslant\ds\sup_{x\in[0,1]}\left|g(t)\right|\cdot\Big|\ds\int_0^1f(t)dt\Big|\leqslant\ds\sup_{x\in[0,1]}\left|g(t)\right|\ds\int_0^1\Big|f(t)\Big|dt$

Comme la "variable" c'est $f(t)$ on peut sortir par linérarité le $sup$ de $g(t)$.

Par contre pour avoir : $\Big|\ds\int_0^1f(t)g(t)dt\Big|\leqslant\ds\int_0^1\Big|f(t)\Big|dt$, il faut que $\ds\sup_{x\in[0,1]}\left|g(t)\right|\geqslant1$ ?

Est ce parce que la norme d'opérateur de $g$ dans l'EVN $C^0([0,1]),\;\Vert\cdot\Vert_\infty$ est $1$ ?
Cela n'est pas suffisant, il me faut cela pour tout $g(t)$ $t\in[0,1]$.
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Re: Continuité et calcul de norme

Messagepar balf » Samedi 10 Mai 2014, 10:15

paspythagore a écrit:Par contre pour avoir : $\Big|\ds\int_0^1f(t)g(t)dt\Big|\leqslant\ds\int_0^1\Big|f(t)\Big|dt$, il faut que $\ds\sup_{x\in[0,1]}\left|g(t)\right|\geqslant1$ ?
Pourquoi diable voulez-vous avoir cette inégalité pour prouver la continuité ?

Est ce parce que la norme d'opérateur de $g$ dans l'EVN $C^0([0,1]),\;\Vert\cdot\Vert_\infty$ est $1$ ?
C'est évidemment faux pour un g quelconque.

Cela n'est pas suffisant, il me faut cela pour tout $g(t)$ $t\in[0,1]$.
Pas du tout. Notez que votre calcul montre que la forme linéaire est un opérateur borné, et fournit la norme d'opérateur.

B.A.
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Re: Continuité et calcul de norme

Messagepar paspythagore » Samedi 10 Mai 2014, 10:26

balf a écrit:
paspythagore a écrit:Par contre pour avoir : $\Big|\ds\int_0^1f(t)g(t)dt\Big|\leqslant\ds\int_0^1\Big|f(t)\Big|dt$, il faut que $\ds\sup_{x\in[0,1]}\left|g(t)\right|\geqslant1$ ?
Pourquoi diable voulez-vous avoir cette inégalité pour prouver la continuité ?
B.A.

Je pensais que l'on cherchait à avoir $|T_g(f)|\leqslant\Vert f\Vert_1$ quel que soit $t\in[0,1]$..
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Re: Continuité et calcul de norme

Messagepar balf » Samedi 10 Mai 2014, 10:40

paspythagore a écrit:Je pensais que l'on cherchait à avoir $|T_g(f)|\leqslant\Vert f\Vert_1$ quel que soit $t\in[0,1]$..

On cherche à avoir quel que soit f :

$$|T_g(f)|\leqslant\Vert M f\Vert_1$ quel que soit $t\in[0,1]$$

pour un M (cela revient à dire que T$_{\mathsf g}$ est lipschitzienne). La borne inférieure de tels M est la norme de T$_{\mathsf g}$.

B.A.
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Re: Continuité et calcul de norme

Messagepar paspythagore » Samedi 10 Mai 2014, 11:06

Ca ne revient pas à chercher $\Big|\ds\int_0^1f(t)g(t)dt\Big|\leqslant M\ds\int_0^1\Big|f(t)\Big|dt$ ?
Il n'est pas nécessaire que $ M\leqslant 1$.
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Re: Continuité et calcul de norme

Messagepar balf » Samedi 10 Mai 2014, 11:15

C'est bien ça, et un M est tout trouvé !

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Re: Continuité et calcul de norme

Messagepar paspythagore » Samedi 10 Mai 2014, 12:13

$M=\ds\sup_{x\in[0,1]}\left|g(t)\right|$ ?
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Re: Continuité et calcul de norme

Messagepar balf » Samedi 10 Mai 2014, 12:39

Exactement.

B.A.
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Re: Continuité et calcul de norme

Messagepar paspythagore » Samedi 10 Mai 2014, 12:49

Re-merci.
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