Composition de développements limités

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

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Composition de développements limités

Messagepar KlausZ » Vendredi 29 Janvier 2010, 19:01

Bonsoir,
Je cherche à montrer que
Si f et g ont pour développements limités:
$\displaystyle f(x)=\sum_{i=0}^{n} a_i(x-x_0)^i+\epsilon(x)\text{ si }x\to x_0$
avec $\epsilon(x)=o(|x-x_0|^n)$
$\displaystyle g(y)=\sum_{j=0}^{n} b_j(y-a_0)^j+\delta(y)\text{ si }y\to a_0$
avec $\delta(y)=o(|y-a_0|^n)$
Alors $g\circ f$ a un développement limité d'ordre $n$ autour de $x_0$.


Pour ce faire, il faut que je montre que $\delta(f(x))=o(|x-x_0|^n)$. J'avais pensé à faire comme cela:

$\displaystyle\lim\limits_{x\to x_0} \frac{\delta(f(x))}{|x-x_0|^n}&=&\lim\limits_{x\to x_0} \frac{\delta(f(x))}{|f(x)-a_0|^n}\frac{|f(x)-a_0|^n}{|x-x_0|^n}=\lim\limits_{y\to a_0} \frac{\delta(y)}{|y-a_0|^n}\cdot\lim\limits_{x\to x_0} \left|\frac{a_0+a_1(x-x_0)+o(|x-x_0|)-a_0}{x-x_0}\right|^n$

$\displaystyle=\lim\limits_{y\to a_0} \frac{\delta(y)}{|y-a_0|^n}\cdot\lim\limits_{x\to x_0} \left|\frac{a_0+a_1(x-x_0)+o(|x-x_0|)-a_0}{x-x_0}\right|^n=0\cdot\lim\limits_{x\to x_0} \left|\frac{a_1(x-x_0)+o(|x-x_0|)}{x-x_0}\right|^n=0$

Mais c'est vrai seulement si $f(x)\not=a_0$ dans un voisinage de $x_0$...

Y a-t-il une manière de palier à ce problème ?

Merci :)
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Re: Composition de développements limités

Messagepar balf » Samedi 30 Janvier 2010, 16:18

La composition des développements limités n'a ici de sens que si $f(x)\to 0$ quand $x\to 0$, ce qui revient à dire que $a_0=0$.

B.A.
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Re: Composition de développements limités

Messagepar KlausZ » Samedi 30 Janvier 2010, 16:46

Excuse moi balf, mais c'est un peu vague:
Pourquoi faudrait-il que $f(x)\to 0$ quand $x\to 0$ (d'ailleurs on a nulle part des limites vers 0) ?
En quoi cela permet-il de conclure ?
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Re: Composition de développements limités

Messagepar Valvino » Samedi 30 Janvier 2010, 17:08

Non effectivement on n'est pas obligé de regarder en 0.

En fait, c'est une mauvais idée de travailler avec des quotients, car on a des problèmes comme celui dont tu as parlé. On n'a pas besoin de faire comme cela. Je te conseille de regarder ce document, page 7.
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Re: Composition de développements limités

Messagepar KlausZ » Samedi 30 Janvier 2010, 18:28

Il me semble qu'il y a le même "problème" quand il fait $r(k)=o(k^n)\Rightarrow r(B(h)+o(h^n))=o(h^n)$:

On a $\lim\limits_{k\to 0} \frac{r(k)}{k^n}=0$ et $\lim\limits_{h\to 0} (B(h)+o(h^n))=0$, mais pour composer les limites il faut que $B(h)+o(h^n)\not=0$ dans un voisinage de $h$...
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Re: Composition de développements limités

Messagepar Valvino » Samedi 30 Janvier 2010, 19:29

Je suis peut-être à la ramasse, mais je ne vois pas le problème? Si c'est nul, et bien tu as un $o(1)$, non?
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Re: Composition de développements limités

Messagepar KlausZ » Samedi 30 Janvier 2010, 19:53

Merci de tes réponses. Il y a encore une chose qui me tracasse:

Si $f(x)=a_0$ dans un voisinage de $x_0$, alors (dans les notations que j'avais au début)

$\lim\limits_{x\to x_0} \frac{\delta(f(x))}{|x-x_0|^n}=\lim\limits_{x\to x_0} \frac{\delta(a_0)}{|x-x_0|^n}$

Mais pour avoir $\delta(a_0)=0$ (et donc que cette limite soit nulle), il faut que $g(a_0)=b_0$, c'est-à-dire que $g$ soit continue. Est-ce une hypothèse en plus à faire ?
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Re: Composition de développements limités

Messagepar Valvino » Samedi 30 Janvier 2010, 20:09

Une fonction est continue en un point si et seulement si elle admet un DL d'ordre 0 en ce point. Tu as même équivalence entre être dérivable en un point et admettre un DL d'ordre 1 en ce point. C'est faux pour les ordres plus grands (C^n implique DL à l'ordre n, mais la réciproque est fausse).
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Re: Composition de développements limités

Messagepar KlausZ » Samedi 30 Janvier 2010, 22:24

Oui, a de toute façon comme tu le dis $\lim\limits_{y\to a_0} g(y)=b_0$, donc la fonction est prolongeable par continuité (en définissant ou en redéfinissant $g$ en ce point), mais pas forcément continue dès le début: on peut très bien avoir une fonction $g$ avec $g(a_0)\not=b_0$.

Dans ce cas-là, $\delta(a_0)\not=0$ et $\delta(a_0)\not=o(|x-x_0|^n)$, et donc ce n'est pas un développement limité... Est-ce qu'il en existe alors un ?

Si on redéfinit $\tilde{g}$ comme la prolongée de $g$, la fonction $\tilde{g}\circ f$ aura un développement limité en $x_0$, mais elle n'est pas tout à fait égale à $g\circ f$... (dans les points où $f(x_0)=a_0$)
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Re: Composition de développements limités

Messagepar Valvino » Dimanche 31 Janvier 2010, 11:44

Je ne suis pas d'accord. Prenons un intervalle $I \subset \R$ non vide, non réduit à un point et qui contient 0. On dit que $f:I\to\R$ admet un développement limité en 0 à l'ordre $n$ s'il existe un polynôme $P$ de degré $n$ tel qu'au voisinage de 0

$$f(x)=P(x)+o(x^n).$$



Or $f$ continue en 0 si et seulement si $f(x)-f(0) \to 0$ quand $x \to 0$ si et seulement si $f(x)=f(0)+o(1)$ si et seulement si $f$ admet un développement limité en 0 à l'ordre 0.

Donc ta fonction $g$ est forcément continue en $a_0$.
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Re: Composition de développements limités

Messagepar KlausZ » Dimanche 31 Janvier 2010, 11:53

Ok pour les implications de gauche à droite.
Par contre:
$f$ admet un développement limité en 0 à l'ordre 0 $\Rightarrow$ $f(x)=c+o(1) \ (c\in \R)$ mais qu'est-ce qui nous garantit que $c=f(0)$ ?

Désolé si c'est un peu bête...
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Re: Composition de développements limités

Messagepar Valvino » Dimanche 31 Janvier 2010, 22:24

L'unicité du DL, il me semble.
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Re: Composition de développements limités

Messagepar KlausZ » Dimanche 31 Janvier 2010, 22:36

Le problème c'est qu'on va tourner en rond: pour utiliser Taylor et écrire $f(x)=f(0)+o(1)$, il faut que $f$ soit continûment dérivable une fois... :?

Enfin, peut-être faut-il rajouter au théorème l'hypothèse que si $f(x)=a_0$ dans un voisinage de $x_0$ (ce qui n'arrive pas souvent dans l'application)
avec $b_0=g(a_0)$ si $f(x)=a_0$ dans un voisinage de $x_0$ et là tout marche.
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