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Messagepar divia » Dimanche 04 Janvier 2009, 14:18

Bonjour à tous voila, je bloque sur un exo que j'ai vu sur le net :

Soient X un espace topologique, Y un espace topologique discret et f une application continue de X dans Y. Montrer que f est constante sur chaque composante connexe de X.


Merci pour votre aide!
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Messagepar François D. » Dimanche 04 Janvier 2009, 14:31

Cet énoncé m'a inspiré simplement deux choses :
-- par une fonction continue, l'image réciproque d'un ouvert (ici de $Y$) est un ouvert (ici de $X$) ;
--dire que $Y$ est un espace topologique discret me semble un peu ambigu ... je pense que c'est un espace muni de la topologie discrète, c'est-à-dire que toutes les parties de de $Y$ sont ouvertes et donc aussi fermées, mais ça pourrait éventuellement signifier que $Y$ est un ensemble discret (i.e. dénombrable, en gros) muni d'une topologie encore à préciser.
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Messagepar divia » Dimanche 04 Janvier 2009, 15:59

Peut on dire que (Z, /./ restreint de Z) est un "espace discret"? Z étant l'ensemble des relatifs
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Messagepar François D. » Dimanche 04 Janvier 2009, 16:37

Je ne peux que me répéter : qu'en est-il précisément de $Y$ ?

Est-ce un espace muni de ce qu'on appelle la topologie discrète, topologie qu'on peut mettre en place sur tout ensemble : c'est celle où les ouverts de $Y$ sont les parties (sous-ensembles) de $Y$, ce qui fait que tout sous-ensemble de $Y$ est à la fois ouvert et fermé (en tant que complémentaire d'un autre sous-ensemble, considéré comme ouvert) ?

Ou est-ce que $Y$ est un ensemble discret, comme par exemple $\Z^2$ dans le plan ? Dans ce cas, quelle est la topologie mise sur $Y$ ?
Dernière édition par François D. le Lundi 05 Janvier 2009, 14:57, édité 1 fois.
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Messagepar divia » Dimanche 04 Janvier 2009, 17:20

Dans ce cas Y=(Z, /./ restreint de Z)
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Re: Composante connexe

Messagepar François D. » Dimanche 04 Janvier 2009, 17:30

Ah, je n'avais pas compris que tu me donnais déjà l'ensemble $Y$ ... sauf que
(Z, /./ restreint de Z)
je ne vois pas trop ce que ça peut être : c'est quoi, ce « /./ restreint de Z » :?: .
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Messagepar guiguiche » Dimanche 04 Janvier 2009, 18:00

Je suppose que c'est la norme euclidienne donc la valeur absolue en dimension 1.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
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Messagepar divia » Dimanche 04 Janvier 2009, 18:07

exact c'est ça
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Messagepar François D. » Dimanche 04 Janvier 2009, 18:15

C'est ce que j'avais fini par me dire aussi ... la bonne touche, c'est (sur un clavier français) [AltGr]+6 : | :wink: .

Partant de là : $(\Z , | |)$ (topologie induite) est un espace topologique discret car $\Z$ l'est, je dirais ... mais est-ce le type de situation de l'ensemble $Y$ de l'énoncé ?
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Re: Composante connexe

Messagepar divia » Dimanche 04 Janvier 2009, 18:58

:D merci de l'astuce!!
Oui je pense qu'on peut prendre cela pour Y vu que c'est l' énoncé de mon exo :)
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Messagepar guiguiche » Dimanche 04 Janvier 2009, 19:04

divia a écrit:Oui je pense qu'on peut prendre cela pour Y vu que c'est l' énoncé de mon exo :)

hum, pas sûr qu'on ait le droit de transformer un cas général en un cas particulier mais cela peut aider à voir ce qui se passe.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
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Messagepar divia » Dimanche 04 Janvier 2009, 19:35

Oui on prend ca comme un cas particulier et je t'avoue que je suis un peu perdu dans cette question...
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Re: Composante connexe

Messagepar guiguiche » Dimanche 04 Janvier 2009, 20:56

intuitivement, c'est assez évident il me semble : comme les points de Y sont isolés la continuité de f assure que si $f(x)$ prend une certaine valeur $y$, elle prendra cette même valeur dans un voisinage de $x$ puisqu'il n'y a rien d'autre autour de $y$. Après, de proche en proche, on doit pouvoir étendre cela à toute la composante connexe de X contenant $x$.
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Re: Composante connexe

Messagepar OG » Dimanche 04 Janvier 2009, 21:04

bonsoir

Comme ça a l'air d'être de la topologie, il me semble que l'interprétation "$Y$ muni de la topologie discrète" est la bonne.
Pour résoudre l'exercice, ce qui est remarquable est que $\{y\}$ est à la fois ouvert et fermé dans $Y$, donc l'image réciproque par $f$ (...).

O.G.
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Re: Composante connexe

Messagepar divia » Lundi 05 Janvier 2009, 00:34

Ca me parait toujours vague...
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Re: Composante connexe

Messagepar balf » Lundi 05 Janvier 2009, 02:50

Il faut peut-être se rappeler qu'un espace topologique connexe E est un espace dans lequel les seules parties à la fois ouvertes et fermées sont E et la partie vide.

B.A.
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Re: Composante connexe

Messagepar OG » Lundi 05 Janvier 2009, 09:33

divia a écrit:Ca me parait toujours vague...


Qu'est-ce que "les composantes connexes de $X$" ?

O.G.
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Re: Composante connexe

Messagepar divia » Lundi 05 Janvier 2009, 13:38

Etant donné un point x dans X c'est la plus grande partie connexe contenant x, qui est aussi l'union des parties connexes contenant x.
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Messagepar François D. » Lundi 05 Janvier 2009, 14:56

Union ou intersection ? Je suis pris d'un doute ...
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Re: Composante connexe

Messagepar OG » Lundi 05 Janvier 2009, 16:17

C'est bien l'union.

En fait il faut utiliser le fait que l'image d'un connexe par une application continue
est connexe et comme dans la topologie discrète les seuls connexes sont les singletons
on conclut aisément.
Il faut juste démontrer ce résultat, avec la topologie induite cela doit se faire.

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