Composante connexe

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Re: Composante connexe

Messagepar balf » Lundi 05 Janvier 2009, 17:03

C'est évident, il me semble : dans la mesure où, dans un espace discret, tout le monde est à la fois ouvert et fermé, pour que les seules parties à la fois ouvertes et fermées d'un sous-espace soient ce sous-espace et la partie vide, il me semble qu'il n'y a pas grand choix.

Mais on peut aussi partir du fait que l'image réciproque d'un y de Y par la restriction de f à une composante connexe de X est à la fois ouverte et fermée : soit cette image réciproque est vide (si y n'est pas atteint sur la composante connexe), soit elle est la composante connexe tout entière (si y est atteint).

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Re: Composante connexe

Messagepar divia » Lundi 05 Janvier 2009, 21:34

Merci a tous
Mais comment montre qu'un espace est discret??
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Re: Composante connexe

Messagepar OG » Mardi 06 Janvier 2009, 08:16

divia a écrit:Merci a tous
Mais comment montre qu'un espace est discret??


Ici c'est l'hypothèse.
De rien
La topologie discrète reste tout de même une des topologies les moins
intéressantes vu que tout le monde il est beau/ouvert/gentil/fermé.

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Re: Composante connexe

Messagepar divia » Mardi 06 Janvier 2009, 21:04

balf a écrit:
Mais on peut aussi partir du fait que l'image réciproque d'un y de Y par la restriction de f à une composante connexe de X est à la fois ouverte et fermée : soit cette image réciproque est vide (si y n'est pas atteint sur la composante connexe), soit elle est la composante connexe tout entière (si y est atteint).



Ok merci mais f doit etre constante sur cette composante connexe, il manque cela non?
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Re: Composante connexe

Messagepar OG » Mardi 06 Janvier 2009, 21:46

bonsoir

ok $X$ n'est pas connexe mais relis la question : montrer que $f$ est constante
sur chaque composante connexe. Si $C$ est une composante connexe de $X$
alors $f(C)$ l'est et comme l'espace $Y$ est discret : $f(C)$ est un singleton.

Pour l'autre résultat si $x$ et $y$ sont dans une même composante connexe $C$
alors nécessairement $[x,y]$ est dans $C$ (sinon on pourrait trouver $a$
tel que $x<a<y$ et $a\notin C$ et $]-\infty,a[\cap C$ et $]a,+\infty[\cap C$ serait
une partition de $C$ en deux ouverts). On peut définir
$z=\sup\{ s\in [x,y], f(s)=f(x)\}$ et avec l'hypothèse on montre que $z=y$.
Ce n'est pas forcément la démonstration la plus élégante.

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édition : je réponds au message qui a été modifié depuis.
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Re: Composante connexe

Messagepar divia » Mardi 06 Janvier 2009, 22:08

AH oui donc l'image réciproque d'un singleton" rend"l'application constante sur les composante connexe de X c'est cela?
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Re: Composante connexe

Messagepar OG » Mercredi 07 Janvier 2009, 15:07

Histoire de faire les détails. Si $C$ est une composante connexe de $X$ et $y$ dans $Y$ tels
que $f^{-1}(\{y\})\cap C \neq \emptyset$ alors on montre que nécessairement
$f^{-1}(\{y\})\cap C = C$. Sinon il existe $x\in C$ tel que $f(x)\neq y$. Alors, comme $f$
est continue et comme la topologie de $Y$ est discrète les ensembles $f^{-1}(\{y\})\cap C$ et
$f^{-1}(Y\setminus \{y\})\cap C$ sont non vides et à la fois ouverts et fermés, ce qui donne
une contradiction sur le fait "$C$ connexe".

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Re: Composante connexe

Messagepar divia » Mercredi 07 Janvier 2009, 20:35

Merci pour tout ces détails j'ai une dernière question: d'où vient la contradiction sur X connexe?
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Re: Composante connexe

Messagepar OG » Mercredi 07 Janvier 2009, 21:15

divia a écrit:Merci pour tout ces détails j'ai une dernière question: d'où vient la contradiction sur X connexe?

je suppose que c'est $C$ connexe : tu as une partition de $C$ en deux ouverts, ce qui contredit le fait $C$ connexe.

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