Comment calculer l'image d'un rectangle ?

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Comment calculer l'image d'un rectangle ?

Messagepar Kazik » Dimanche 07 Janvier 2007, 23:08

Bonsoir,

j'ai dans $\R^2$ un rectangle donnée par les intersection des courbes d'équations :

$x=0$, $x=2$, $y=-1$ et $y=2$

maintenant on fait varier $M(x,y)$ sur ce rectangle, et je veux calculer $f(M)$ avec la fonction $f(x,y)=x^3+y^3$

comment faire ?
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Messagepar guiguiche » Dimanche 07 Janvier 2007, 23:09

4 côtés donc 4 expressions.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
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Messagepar Kazik » Dimanche 07 Janvier 2007, 23:17

donc je calcule :
$f(0,y)=y^3$
$f(2,y)=8+y^3$
$f(x,-1)=x^3-1$
$f(x,2)=x^3+8$

ensuite ?
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Messagepar Kazik » Dimanche 07 Janvier 2007, 23:34

On prend l'intersection de ces quatres équations ?
svp quelqu'un ? :oops:
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Messagepar Kazik » Lundi 08 Janvier 2007, 00:15

Je ne comprend pas ce qu'il faut faire ensuite ?

tracer les droites d'équation $y^3$, $y^3+8$, $x^3+1$ et $x^3+8$ ?
Dernière édition par Kazik le Lundi 08 Janvier 2007, 00:25, édité 1 fois.
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Messagepar tigris » Lundi 08 Janvier 2007, 00:23

:)
$f$ est à valeur dans $\mathbb{R}$

Tu prends $M$ dans $[0,2]\times [-1,2]$ ou seulement sur les bords ?
:)
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Messagepar Kazik » Lundi 08 Janvier 2007, 00:25

non seulement sur les bords du rectangle.
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Messagepar Kazik » Lundi 08 Janvier 2007, 00:52

Ce que je veux dire c'est que ce n'est pas le pavé.
Les points $M(x,y)$ décrivent les bords du rectangle.
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Messagepar tigris » Lundi 08 Janvier 2007, 00:56

:)
$f$ est continue (polynômiale). La partie $X\subset \mathbb{R}^2$ dont tu cherches l'image (incluse dans $\mathbb{R}$ donc) de quels qualificatifs l'affublerais tu ? Compacte, fermée,ouverte, connexe,connexe par arcs, etc...? Ceci te permetterait de prévoir la nature de l'image.
:)
Dernière édition par tigris le Lundi 08 Janvier 2007, 01:01, édité 1 fois.
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Messagepar Kazik » Lundi 08 Janvier 2007, 01:00

Voici une image :
Image

bien je dirais compacte, non ?
car c'est l'image d'un compact par une application continue.
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Messagepar tigris » Lundi 08 Janvier 2007, 01:16

:)
$X$ n'est pas seulement compacte.
:)

Bon, mais là il est tard....A demain.
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Messagepar Kazik » Lundi 08 Janvier 2007, 01:17

$X$ est quoi d'autre ?
En quoi cela sert il à calculer l'image de ce rectangle ?
(stp si tu pouvais m'aider!)
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Messagepar tigris » Lundi 08 Janvier 2007, 01:27

:)
C'est pas toi qui as demandé de calculer l'image du rectangle ?
Si ce n'est pas cela on peut considérer que tu as répondu dans ton post de 23:17.

Moi j'ai cru qu'il fallait déterminer $\{f(M)\,/\,M\in X\}$.
:)
Dernière édition par tigris le Mardi 09 Janvier 2007, 19:26, édité 1 fois.
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Messagepar Kazik » Lundi 08 Janvier 2007, 01:29

Non il faut calculer l'image du bord du rectangle !
$M(x,y)$ parcourt le périmetre du rectangle en faite, il n'y a pas l'interieur quoi ! ni l'extèrieur !
C'est bien $\{f(M)\,,M\in X\}$ si l'on appele $X=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\,,x=0\,,x=2\,,y=-1\,,y=2\}$
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Messagepar tigris » Lundi 08 Janvier 2007, 08:31

:)
J'ai compris, depuis ton post de 00:25 que $X$ est le bord. J'écrirais :

$$X=\{(x,-1)\in {\mathbb{R}}^2 \,/\,0\leq x \leq 2\}\cup \{(2,y)\in {\mathbb{R}}^2 \,/\,-1\leq y \leq 2\}\cup \{(x,2)\in {\mathbb{R}}^2 \,/\,0\leq x \leq 2\}\cup \{(0,y)\in {\mathbb{R}}^2 \,/\,-1\leq y \leq 2\}$$


ou encore

$$X=([0,2]\times \{-1\})\cup (\{2\}\times [-1,2])\cup ([0,2]\times\{2\})\cup (\{0\}\times [-1,2])$$



L'image de $X$ se calcule aisément. Je proposais de mettre en lumière les propriétés de $X$ afin de prévoir la nature de son image par la fonction continue $f : \mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}\,,\,(x,y)\mapsto x^3+y^3$. J'imagine que ce sont les justifications demandées à un niveau post bac.

:)
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Messagepar Kazik » Lundi 08 Janvier 2007, 21:15

ce qui était attendu en faite c'est :
Image
Image
Image
Image

déterminer les variations de ces fonctions.
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Messagepar guiguiche » Lundi 08 Janvier 2007, 21:26

Kazik a écrit:déterminer les variations de ces fonctions.

Ca va, c'est pas trop violent !
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Messagepar Kazik » Lundi 08 Janvier 2007, 22:07

qui peut le plus peut le moins !
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Messagepar tigris » Mardi 09 Janvier 2007, 19:29

:)
J'avais cru comprendre qu'il fallait prouver $\ds f(X)=[-1,16]$. Ce qui n'est pas très violent non plus.
:)
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