[Résolu] Combinatoire

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[Résolu] Combinatoire

Messagepar paspythagore » Dimanche 11 Avril 2010, 08:54

Bonjour,

j'ai un exercice de combinatoire et je ne suis même pas sûr de comprendre ce que l'on me demande.

Calculer la somme des puissances cinquièmes des racines du polynôme : $X^3 = X^2 + 3X -1$


Calculer les racines de ce polynôme, je n'y arrive pas, mais est ce nécessaire ?

Merci de m'indiquer les pistes à suivre pour résoudre cet exercice.
Dernière édition par paspythagore le Mardi 13 Avril 2010, 19:31, édité 1 fois.
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Re: Combinatoire

Messagepar fp » Dimanche 11 Avril 2010, 09:08

paspythagore a écrit:Bonjour,

j'ai un exercice de combinatoire et je ne suis même pas sûr de comprendre ce que l'on me demande.

Calculer la somme des puissances cinquièmes des racines du polynôme : $X^3 = X^2 + 3X -1$


Calculer les racines de ce polynôme, je n'y arrive pas, mais est ce nécessaire ?

Non. Une remarque en passant : $X^3 = X^2 + 3X -1$ n'est pas un polynôme...

Merci de m'indiquer les pistes à suivre pour résoudre cet exercice.


Appelons $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ les 3 racines (complexes éventuellement, distinctes ou non) du polynôme $X^3-X^2-3X+1$.

On a donc : $\alpha^3=\alpha^2+3\alpha-1$ (idem pour $\beta$ et $\gamma$).
Que vaut alors $\alpha^4$ en fonction de $\alpha^2$ et $\alpha$ ?
Même question pour $\alpha^5$.

FP.
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Re: Combinatoire

Messagepar paspythagore » Dimanche 11 Avril 2010, 09:47

Bonjour et merci,

j'ai effectivement fait une erreur dans l'énoncé :

Calculer la somme des puissances cinquièmes des racines du polynôme : $X^3 - X^2 + 3X -1$


$\alpha^3 = \alpha^2 - 3 \alpha + 1$
$\alpha^4 = \alpha^3 - 3 \alpha^2 + \alpha = \alpha^2 - 3 \alpha + 1 - 3 \alpha^2 + \alpha = -2 \alpha^2 - 2 \alpha + 1$
$\alpha^5 = -2 \alpha^3 - 2 \alpha^2 + \alpha = -2\alpha^2 + 6 \alpha - 2 - 2 \alpha^2 + \alpha = -4 \alpha^2 + 7 \alpha - 2$

Maintenant, si on fait la somme des puissances cinquièmes, on obtient un résultat en fonction d'$\alpha, \beta$ et $\gamma$.

Je ne comprends pas comment trouver mieux ni quel lien il y a avec la combinatoire ?
paspythagore
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Re: Combinatoire

Messagepar balf » Dimanche 11 Avril 2010, 16:26

Le lien est dans les formules de Newton : à partir des relations entre coefficients et racines (les « fonctions symétriques élémentaires », $s_k$), on peut calculer toute fonction symétrique des racines, et en particulier les sommes de puissances n-ièmes des racines. Inversement, la connaissance des ces sommes de puissances n-ièmes permet de récupérer les fonctions symétriques élémentaires.

Ces sommes de puissances n-ièmes ($S_n$) se calculent récursivement : $S_1=s_1$ et d'autre part en écrivant $s_1S_n=S_{n+1}+\dots$ , on obtient une relation entre les $S_k\ (k=1,\dots,n+1$).

Ces considérations sont très générales,mais combinées à l'indication de FP, on voit qu'il suffit d'être capable de calculer la somme des carrés des racines.

B.A.
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Re: Combinatoire

Messagepar fp » Dimanche 11 Avril 2010, 18:46

paspythagore a écrit:Bonjour et merci,

j'ai effectivement fait une erreur dans l'énoncé :

Calculer la somme des puissances cinquièmes des racines du polynôme : $X^3 - X^2 + 3X -1$


$\alpha^3 = \alpha^2 - 3 \alpha + 1$
$\alpha^4 = \alpha^3 - 3 \alpha^2 + \alpha = \alpha^2 - 3 \alpha + 1 - 3 \alpha^2 + \alpha = -2 \alpha^2 - 2 \alpha + 1$
$\alpha^5 = -2 \alpha^3 - 2 \alpha^2 + \alpha = -2\alpha^2 + 6 \alpha - 2 - 2 \alpha^2 + \alpha = -4 \alpha^2 + 7 \alpha - 2$

Maintenant, si on fait la somme des puissances cinquièmes, on obtient un résultat en fonction d'$\alpha, \beta$ et $\gamma$.

Je ne comprends pas comment trouver mieux ni quel lien il y a avec la combinatoire ?


OK.
Maintenant, comment exprimer $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2$ en fonction de $\alpha+\beta+\gamma$ et de $\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha$ ?

FP.
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Re: Combinatoire

Messagepar paspythagore » Dimanche 11 Avril 2010, 22:31

comment exprimer $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2$ en fonction de $\alpha+\beta+\gamma$ et de $\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha$ ?


$(\alpha + \beta + \gamma)^2 = \alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 + 2 \alpha \beta + 2 \beta \gamma + 2 \gamma \alpha$

$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = (\alpha + \beta + \gamma)^2 - 2 \alpha \beta - 2 \beta \gamma - 2 \gamma \alpha$
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Re: Combinatoire

Messagepar fp » Lundi 12 Avril 2010, 01:43

OK.

Et maintenant, comment s'exprime $\alpha+\beta+\gamma$ et $\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\delta$ en fonction des coefficients du polynôme ?

FP.
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Re: Combinatoire

Messagepar paspythagore » Lundi 12 Avril 2010, 22:15

Bonsoir,

je sèche à nouveau :

Tout ce que j'ai pu trouver c'est :

$\alpha^5 + \beta^5 + \gamma^5 = -4 (\alpha + \beta + \gamma)^2 + 8 (\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha) + 7(\alpha + \beta + \gamma) - 6$

Mais je n'arrive pas à conclure.
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Re: Combinatoire

Messagepar girdav » Lundi 12 Avril 2010, 22:18

Il faut penser à écrire le polynôme sous la forme $\left(X-\alpha\right)\left(X-\beta\right)\left(X-\gamma\right)$ et identifier les coefficients.
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Re: Combinatoire

Messagepar balf » Lundi 12 Avril 2010, 22:45

Eh bien, c'est virtuellement fini ! Il suffit d'utiliser les fonctions symétriques élémentaires (relations entre coefficients et racines) : si l'équation est $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsm+a-1x+a_0=0$, il y a n racines complexes (comptées avec leur ordre de multiplicité) $x_1,\dots,x_n$ et
$x_1+\dots+x_n=-a_{n-1}/a_n$, $a_1a_2+\dots+a_1a_n+a_2a_3+\dots+a_{n-1}a_n=a_{n-2}/a_n$, $a_1a_2a_3+\dots=a_{n-2}/a_n$ et ainsi de suite.

B.A.
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Re: Combinatoire

Messagepar fp » Lundi 12 Avril 2010, 22:48

balf a écrit:Eh bien, c'est virtuellement fini ! Il suffit d'utiliser les fonctions symétriques élémentaires (relations entre coefficients et racines) : si l'équation est $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsm+a-1x+a_0=0$, il y a n racines complexes (comptées avec leur ordre de multiplicité) $x_1,\dots,x_n$ et
$x_1+\dots+x_n=-a_{n-1}/a_n$, $a_1a_2+\dots+a_1a_n+a_2a_3+\dots+a_{n-1}a_n=a_{n-2}/a_n$, $a_1a_2a_3+\dots=a_{n-2}/a_n$ et ainsi de suite.

B.A.


Heu, c'est plutôt :

$x_1x_2+\dots+x_1x_n+x_2x_3+\dots+x_{n-1}x_n=\dfrac{a_{n-2}}{a_n}$, $x_1x_2x_3+\dots=\dfrac{a_{n-2}}{a_n}\cdotp$

FP.
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Re: Combinatoire

Messagepar balf » Lundi 12 Avril 2010, 23:21

Oui et non ! Je ne me suis pas bien relu, mais ce qui me console, c'est que je suis contagieux, apparemment...
La dernière relation devrait être
$x_1x_2x_3+\dots = -\dfrac{a_{n-3}}{a_n}$.

B. A.
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Re: Combinatoire

Messagepar fp » Lundi 12 Avril 2010, 23:31

balf a écrit:Oui et non ! Je ne me suis pas bien relu, mais ce qui me console, c'est que je suis contagieux, apparemment...
La dernière relation devrait être
$x_1x_2x_3+\dots = -\dfrac{a_{n-3}}{a_n}$.

B. A.


Exact ! :oops:
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Re: Combinatoire

Messagepar paspythagore » Mardi 13 Avril 2010, 17:35

Bonsoir, je trouve $\alpha^5 + \beta^5 + \gamma^5 = 21$.

Est ce exact ?
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Re: Combinatoire

Messagepar fp » Mardi 13 Avril 2010, 17:42

paspythagore a écrit:Bonsoir, je trouve $\alpha^5 + \beta^5 + \gamma^5 = 21$.

Est ce exact ?


Ça me semble correct, effectivement.

FP.
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Re: Combinatoire

Messagepar fp » Mardi 13 Avril 2010, 18:03

En fait, les trois racines de ce polynôme sont :

$\alpha=\dfrac{\sqrt[3]{1+3\sqrt{57}}}{3}-\dfrac{8}{3\sqrt[3]{1+3\sqrt{57}}}+\dfrac{1}{3}$ (seule racine réelle) ;

$\beta=-\dfrac{\sqrt[3]{1+3\sqrt{57}}}{6}+\dfrac{4}{3\sqrt[3]{1+3\sqrt{57}}}+\dfrac{1}{3}+\,\mathrm{i}\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(\dfrac{\sqrt[3]{1+3\sqrt{57}}}{3}+\dfrac{8}{3\sqrt[3]{1+3\sqrt{57}}}\right)$

$\gamma=-\dfrac{\sqrt[3]{1+3\sqrt{57}}}{6}+\dfrac{4}{3\sqrt[3]{1+3\sqrt{57}}}+\dfrac{1}{3}-\,\mathrm{i}\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(\dfrac{\sqrt[3]{1+3\sqrt{57}}}{3}+\dfrac{8}{3\sqrt[3]{1+3\sqrt{57}}}\right)$

($\beta$ et $\gamma$ sont complexes non réels, conjugués).

Et il est facile de voir que $\alpha^5+\beta^5+\gamma^5=21\dots$ :D

FP.
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Re: Combinatoire

Messagepar paspythagore » Mardi 13 Avril 2010, 18:17

Et il est facile de voir que $\alpha^5+\beta^5+\gamma^5=21\dots$


Pas pour moi.


Merci de l'aide que vous m'avez apportée.
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Re: Combinatoire

Messagepar fp » Mardi 13 Avril 2010, 18:27

paspythagore a écrit:
Et il est facile de voir que $\alpha^5+\beta^5+\gamma^5=21\dots$


Pas pour moi.


C'était ironique (smiley). C'est évidemment très difficile de voir ça...

Merci de l'aide que vous m'avez apportée.


De rien. Pourriez-vous mettre [RÉSOLU] dans le titre du sujet ?

FP.
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Combinatoire [RÉSOLU]

Messagepar paspythagore » Mardi 13 Avril 2010, 19:31

Comme ça ?
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Re: Combinatoire [RÉSOLU]

Messagepar fp » Mardi 13 Avril 2010, 19:39

Oui.

FP.
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