Coefficients binomiaux

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Coefficients binomiaux

Messagepar José » Vendredi 18 Août 2006, 20:22

Bonsoir à tous,
voilà mon petit problème : il s'agit de montrer que dans une ligne du triangle de Pascal le nombre de coefficients binomiaux impairs est toujours une puissance de 2.
En fait j'arrive à voir à peu près pourquoi et comment ça marche mais je n'arrive pas trop à le formaliser...donc du coup je ne vois et comprends peut être pas si bien que ça ...
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Messagepar Rémi » Vendredi 18 Août 2006, 20:36

A froid je dirais que cela dois se démontrer par réccurence.
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Messagepar la main gauche » Mercredi 23 Août 2006, 08:51

A froid aussi:

si X est un ensemble fini, à n éléments, l'ensemble de ces parties à 2^n éléments, or il y a autant de parties qui ont un nombre pair d'éléments que de parties qui ont un nombre impair d'éléments, ce qui fait que la somme des coefficeints binomiaux impairs est 2^{n-1}. Autre façon (de mon papy sioux):

$$
 N = \{0 \dots n \}
 ,\quad
 I = \hbox{\rm impairs}
 ,\quad
 P = \hbox{\rm pairs}
 $$



$$
 A = \sum_{k \in I} C^n_k
 ,\quad
 B = \sum_{k \in P} C^n_k
 $$


et on veut calculer A, or

$$
 B + A = (1 + 1)^n = 2^n
 ,\quad
 B - A = (1 - 1)^n = 0
 $$


d'après la formule du camarade Newton, et on a donc $ A = B = 2^{n-1}$.

[edit: je suis pas mal en forme ce matin]
[edit: par contre, j'ai répondu à une autre question que celle de l'OP, ce qui est typique chez moi]
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Messagepar José » Mercredi 23 Août 2006, 09:18

Merci la main gauche !

Mais je ne demandais pas la somme des $C_n^k$ pour k impair mais bien le nombre de ces $C_n^k$ qui sont impairs à n fixé...
José
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