classe de conjugaison

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

Modérateur: gdm_aidesco

Règles du forum
Merci d'éviter le style SMS dans vos messages et de penser à utiliser la fonction Recherche avant de poster un message. Pour joindre des fichiers à vos messages, consulter ce sujet.
> Penser à utiliser le mode LaTeX (voir ici) afin de rendre vos formules plus lisibles.
> Ne poster qu'un exercice (ou problème) par sujet et indiquer son niveau précis dans le titre du message.

classe de conjugaison

Messagepar paspythagore » Mercredi 09 Octobre 2013, 21:05

Bonjour.
Il me semblait déjà avoir posé la question sur le forum mais je ne trouve plus.
Soit $\gamma=(i_1,\cdots,i_m)$ un cycle de $S_n$. Soit $\tau\in S_n$ une permutation quelconque. alors :

$$\tau\gamma\tau^{-1}=\left(\tau(i_1),\cdots, \tau(i_m)\right)$$

.

Je ne comprends comment cela se démontre.
Merci de votre aide.
paspythagore
Exa-utilisateur
 
Messages: 2287
Inscription: Mercredi 19 Novembre 2008, 15:35
Statut actuel: Post-bac

Publicité

Re: classe de conjugaison

Messagepar balf » Mercredi 09 Octobre 2013, 21:58

En vérifiant sur chaque entier de [1 .. n] : un tel entier i est forcément de la forme τ(j) ; il suffit de calculer son image par τγτ⁻¹, en discutant suivant que j figure parmi i₁, ... , iₙ.

B.A.
balf
Zetta-utilisateur
 
Messages: 3652
Inscription: Mercredi 02 Janvier 2008, 23:18
Statut actuel: Actif et salarié | Maître de conférence

Re: classe de conjugaison

Messagepar paspythagore » Jeudi 10 Octobre 2013, 17:48

OK, je comprends ce qu'il faut faire mais je n'y arrive pas.

$\tau\gamma\tau^{-1}\tau(i_j)=\tau\gamma(i_j)$
$\tau\gamma(i_j)=\tau(i_j)$ : évident si $j\notin[1;m]$

Si non, $\tau\gamma(i_j)=\tau(i_{j+1})$ et on aurait $\tau\gamma\tau^{-1}=\left(\tau(i_2),\cdots, \tau(i_{j+1}),\cdots, \tau(i_1)\right)$ ?
paspythagore
Exa-utilisateur
 
Messages: 2287
Inscription: Mercredi 19 Novembre 2008, 15:35
Statut actuel: Post-bac

Re: classe de conjugaison

Messagepar balf » Jeudi 10 Octobre 2013, 23:37

C'est bien ça. Il suffit de remarquer qu'on commence l'écriture d'un cycle où l'on veut (un cercle n'a pas d'origine naturelle, n'est-ce pas ?) et donc ce que vous avez écrit peut aussi bien s'écrire :
(τ(ι₁) τ(ι₂) … τ(iₙ))
Le premier cas n'est pas bien rédigé à mon avis : il aurait fallu écrire que « si i n'appartient pas à l'ensemble {i₁, i₂, … ,iₙ} » plutôt que de parler de i_j (l'indice j laisserait penser qu'il fait partie de cet ensemble, justement).

B.A.
balf
Zetta-utilisateur
 
Messages: 3652
Inscription: Mercredi 02 Janvier 2008, 23:18
Statut actuel: Actif et salarié | Maître de conférence

Re: classe de conjugaison

Messagepar paspythagore » Vendredi 11 Octobre 2013, 12:26

Merci.

En fait je fais un amalgame entre $\gamma\tau(i_j)$ et $\gamma\gamma$ qui pourrait donner si $\gamma=(123)$.

$(123)(123)=(123)^{-1}\neq(123)$

Il y a quelque chose qui reste flou pour moi.
paspythagore
Exa-utilisateur
 
Messages: 2287
Inscription: Mercredi 19 Novembre 2008, 15:35
Statut actuel: Post-bac


Retourner vers Exercices et problèmes : Supérieur

 


  • Articles en relation
    Réponses
    Vus
    Dernier message

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum: Magpie [Crawler] et 1 invité