Changement de coords. sphériques par 3 rotations

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Changement de coords. sphériques par 3 rotations

Messagepar Ad81 » Jeudi 16 Septembre 2010, 19:25

Bonsoir,

Je suis à la recherche des bons outils mathématiques pour résoudre le problème de suivant :

On dispose d’une plateforme M orientée dans l’espace selon 3 angles :
- son cap par rapport au nord géographique $\psi$
- son assiette par rapport à l’horizontale locale $\theta$
- son inclinaison par rapport à l’horizontale locale $\phi$
Si on note (x, y, z) le repère de la plateforme M, et (X, Y, Z) le repère "géographique" (typiquement le nord, l’ouest et la verticale locale), on a:

$X1 = R_Z\psi(X)$,
$Y1 = R_Z\psi(Y)$,
$Z2 = R_Y_1\theta(Z)$,
$x = X2 = R_Y_1\theta(X1)$,
$y = R_X_2\phi(Y1)$,
$z = R_X_2\phi(Z2)$

On connaît la position d’un point P par ses coordonnées sphériques dans le repère centré sur M et de base « géographique » (X, Y, Z).
Mon objectif est de déterminer les coordonnées sphériques de M dans le repère (x, y, z).

Voilà comment j’ai procédé. J’ai supposé que les rotations étaient ordonnées comme suit :
- d’abord $\psi$ (autour de Z),
- puis $\theta$ (autour de Y1)
- et enfin $\phi$ (autour de x=X2)
J’ai déterminé le quaternion correspondant à chaque rotation, soient respectivement $Q_\psi$, $Q_\theta$ et $Q_\phi$.
La rotation équivalente est le produit $Q = Q_\phi Q_\theta Q_\psi$

Enfin j'applique au vecteur V = MP (en coordonnées XYZ) les produits de quaternions suivants : $Q V \bar{Q}$
Ce qui devrait me donner les coordonnées de V dans la base (x, y, z).
Il est équivalent de déterminer la matrice 3x3 de passage associée au quaternion $Q^{-1}$. J'obtiens le même résultat.

Cependant le résultat donne un comportement visiblement erroné : la rotation en $\phi$ a un effet indésirable sur la "hauteur" du point dans le repère (x, y, z).

L'erreur vient-elle de l'hypothèse d'ordre des rotations, qui sont simultanées dans la réalité ?
Si quelqu'un a une proposition de correction ou de moyen alternatif (autres outils mathématiques) d'aborder le problème, je suis preneur.

Merci
Bonne soirée.

Ad
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Re: Changement de coords. sphériques par 3 rotations

Messagepar Framboise » Vendredi 17 Septembre 2010, 16:28

Bonjour,

Pourrais-tu détailler plus concrètement tes calculs ?
J'utilise des changements de repères en astronomie dans le même style avec les matrices, telle que les changements de coordonnées écliptiques-équatoriales-locales. A priori, les variantes de chemins des successions de transformations ne devraient pas changer le résultat global.
Peut être que un ou deux exemples numériques concrets permettraient de fixer le problème.
J'ai le virus des sciences, ça se soigne ?
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Re: Changement de coords. sphériques par 3 rotations

Messagepar Ad81 » Samedi 18 Septembre 2010, 14:16

Bonjour,

Merci d'avoir jeté un oeil.

Je transcris l'ensemble de façon à obtenir un calcul "formel" et automatiser l'ensemble, donc malheureusement je ne l'écris pas numériquement.
C'est en lançant les calculs "automatisés" que j'ai constaté que le résultat n'était celui attendu pour la rotation en $\phi$.
Par contre je peux détailler un peu plus les étapes que j'ai franchies :

J'écris les quaternions $Q_\psi$, $Q_\theta$ et $Q_\phi$ sous leur forme [ $q_0$ , $q_1$ , $q_2$ , $q_3$ ].
Leurs composantes étant écrites à partir de l'angle de la rotation (e.g. $\alpha$) et du vecteur correspondant (e.g. $\vec{u}$) : $cos(\alpha/2) + sin(\alpha/2)\vec{u}$
$\vec{u}$ valant tour à tour $Z$, $Y1$, $X2$,
et $\alpha$ valant tour à tour $\psi$, $\theta$ et $\phi$

Je convertis les coordonnées sphériques de P (par rapport au repère XYZ centré sur M) en coordonnées cartésiennes dans XYZ, c'est ce que j'appelle ensuite les coordonnées XYZ du vecteur $\vec{V} = \vec{MP}$.

La multiplication $QV\bar{Q}$ est effectuée en utilisant le produit hamiltonien décrit ici http://fr.wikipedia.org/wiki/Quaternion#Multiplication_de_Hamilton, en ayant écrit $\vec{V}$ sous la forme d'un quaternion à partie réelle nulle ( $q_0 = 0$ avec la notation précédente).

Je vais quand même voir si j'ai le courage d'écrire un cas particulier dont je sais le résultat erroné !!

Bonne journée
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Re: Changement de coords. sphériques par 3 rotations

Messagepar Ad81 » Mardi 21 Septembre 2010, 19:59

Bonsoir,

En considérant d'abord la rotation en $\phi$, puis celle en $\theta$, et enfin celle en $\psi$ :
$Y_1 = R_X\phi(Y)$
$Z_2 = R_Y_1\theta(R_X\phi(Z))$
$Q_\phi$ pour $R_X\phi$
$Q_\theta$ pour $R_Y_1\theta$
$Q_\psi$ pour $R_Z_2\psi$
et en prenant cette fois $Q = Q_\psi Q_\theta Q_\phi$
j'ai le résultat attendu…
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Re: Changement de coords. sphériques par 3 rotations

Messagepar Framboise » Mercredi 22 Septembre 2010, 00:10

Le problème est résolu je suppose ?

Pas toujours évident de s'y retrouver avec ces transformations sans s'encoubler. J'ai fort heureusement une très bonne représentation spatiale mentale qui aide beaucoup.
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Re: Changement de coords. sphériques par 3 rotations

Messagepar Ad81 » Mercredi 22 Septembre 2010, 05:56

disons que ça fonctionne, mais je reste perplexe devant l'ordre des rotations choisies et l'ordre des $Q_\alpha$ qu'il a fallu prendre.
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Re: Changement de coords. sphériques par 3 rotations

Messagepar Framboise » Mercredi 22 Septembre 2010, 08:00

Les quaternions ne sont pas commutatifs en général, mais si la transformation globale aboutit physiquement à la même chose selon deux cheminements différents, cela devrait fonctionner.

Se méfier également des fonctions trigo qui peuvent avoir des singularités dans certaines circonstances, des transformations rectangulaires <-> polaires sont souvent plus adéquates, bien que les fonctions trigo soient sous-jacentes.
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Re: Changement de coords. sphériques par 3 rotations

Messagepar maurice » Mercredi 22 Septembre 2010, 23:43

Framboise a écrit: J'ai fort heureusement une très bonne représentation spatiale mentale qui aide beaucoup.

Chanceuse !
Asymptote :
----> Démarrage rapide : http://cgmaths.fr/Atelier/Asymptote/Asymptote.html
----> Documentation 3D : http://www.mathco.tuxfamily.org et si ça ne marche pas, essayez la version pdf
maurice
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