centre d'un groupe

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centre d'un groupe

Messagepar paspythagore » Mercredi 18 Septembre 2013, 21:09

Bonjour.
Il y a un petit passage que je ne comprends pas dans la correction de l'exercice ci-dessous :
Pour tout groupe $G$, on appelle centre de $G$ l'ensemble $Z(G)=\{h\in G / \forall k\in G, hk=kh\}$.
soit $G$ un groupe ayant un unique élément d'ordre $2$. Montrer que cet élément appartient à $Z(G)$.

Notons $z$ l'unique élément d'ordre $2$. Soit $g\in G:(gzg^{-1})(gzg^{-1})=gz^2g^{-1}=gzg^{-1}$.
Par conséquent, $gzg^{-1}=z$ puisque cet élément est d'ordre $2$.

Je ne comprends pas $gz^2g^{-1}=gzg^{-1}$, j'aurai plutôt vu :
$(gzg^{-1})(gzg^{-1})=gz^2g^{-1}=e$. Par conséquent, $gzg^{-1}=z$ puisque cet élément est d'ordre $2$ et que $z$ est le seul élément d'ordre $2$.
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Re: centre d'un groupe

Messagepar OG » Mercredi 18 Septembre 2013, 22:21

Il se peut qu'il y ait une faute de frappe ?

O.G.
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Re: centre d'un groupe

Messagepar balf » Mercredi 18 Septembre 2013, 22:22

Votre raisonnement est juste ; ce devait être une coquille.

B.A.
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Re: centre d'un groupe

Messagepar paspythagore » Jeudi 19 Septembre 2013, 20:06

Merci.
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